1. Considerando a descrição S=S(U, V) verifique que as expressões
1T=(partial Spartial U)V e PT=(partial Spartial V)U
satisfazem a equação de estado do gás ideal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um gás ideal descrito por entropia S=S(U,V), as expressões 1/T=(partial S/partial U)V e P/T=(partial S/partial V)U conduzem à equação de estado do gás ideal. Vou usar a identidade fundamental da termodinâmica, a relação U=CV T e P= nR T/V.

Passo 2

Na termodinâmica, a diferencial de entropia é dada por dS=dfrac1T,dU+dfracPT,dV. Para um gás ideal temos P/T= nR/V e, como U=CV T, segue também 1/T=CV/U. Substituindo essas expressões em dS, obtemos
dS=CVU,dU+nRV,dV
Agora vamos determinar a forma de S(U,V) integrando parcialmente.

Passo 3

Integrando primeiro em U a 1ª parcela, temos S(U,V)=CVintegraldfrac1U,dU+g(V)=CVln U+g(V). Para achar g(V), derivamos em V e igualamos a P/T=nR/V:
partial Spartial VU=g'(V)=nRVRightarrow g(V)=nRln V+const
Logo
S(U,V)=CVln U+nRln V+const

Passo 4

Calculamos agora os derivativos pedidos:
1/T que igualamos a T=U/CV, dando P/T;
P=(nR/V),T que igualamos a V, dando P,V=nR,T.
Multiplicando ambos os lados por , resulta .

Resposta

A equação de estado resultante é P,V = n,R,T.

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