1. A energia interna de um gás é dada por U=alpha P V, com alpha>0. Determine a razão CP / CV em função de alpha, identificando essa quantidade na função P=P(V) de um processo adiabático. Considerando que energia interna também é dada por U= g 12 N kB T, onde g é o número de graus de liberdade, determine CP / CV para:
    (a) um gás ideal monoatômico,
    (b) gás diatômico com energia de ligação fixa,
    © gás diatômico com energia de ligação variável.

Passo 1

O enunciado dá a energia interna de um gás como U=α P V com α>0 e pede para achar a razão γ=C_P/C_V em função de α, identificando também a forma P=P(V) num processo adiabático. Depois, usando U=(g/2) N k_B T, queremos γ para gás monoatômico (a), diatômico com energia fixa (b) e diatômico com energia variável ©.

Passo 2

Para um gás ideal vale P V = N k_B T. Substituindo em U=α P V obtemos U=α N k_B T, de onde
CV=(∂U/∂T)_V=α N k_B. A entalpia é H=U+P V=(α+1)P V=(α+1)N k_B T, então
CP=(∂H/∂T)_P=(α+1)N k_B.

Passo 3

A razão de capacidades térmicas fica
γ= C_P/C_V = (α+1)N k_B / (α N k_B) = (α+1)/α.
Num processo adiabático δQ=0 e usa-se a relação
Se para um processo adiabático PV^γ=constante, então
P,V^α+1α=constante

Passo 4

Comparando U=α P V com U=(g/2)N k_B T vemos α=g/2. Assim γ=(g/2+1)/(g/2)=(g+2)/g. Logo:
(a) monoatômico g=3 ⇒ γ=(3+2)/3=5/3
(b) diatômico com energia fixa g=5 ⇒ γ=(5+2)/5=7/5
© diatômico com energia variável g=6 ⇒ γ=(6+2)/6=4/3

Resposta

CPCV=α+1α
P,V^α+1α=constante
Para (a) γ=5/3; (b) γ=7/5; © γ=4/3

Exercícios relacionados