- A energia interna de um gás é dada por
. Determine a razão
em função de
, identificando essa quantidade na função
de um processo adiabático. Considerando que energia interna também é dada por
, onde
é o número de graus de liberdade, determine
para:
(a) um gás ideal monoatômico,
(b) gás diatômico com energia de ligação fixa,
© gás diatômico com energia de ligação variável.
(a) um gás ideal monoatômico,
(b) gás diatômico com energia de ligação fixa,
© gás diatômico com energia de ligação variável.
Passo 1
O enunciado dá a energia interna de um gás como U=α P V com α>0 e pede para achar a razão γ=C_P/C_V em função de α, identificando também a forma P=P(V) num processo adiabático. Depois, usando U=(g/2) N k_B T, queremos γ para gás monoatômico (a), diatômico com energia fixa (b) e diatômico com energia variável ©.
Passo 2
Para um gás ideal vale P V = N k_B T. Substituindo em U=α P V obtemos U=α N k_B T, de onde
CV=(∂U/∂T)_V=α N k_B. A entalpia é H=U+P V=(α+1)P V=(α+1)N k_B T, então
CP=(∂H/∂T)_P=(α+1)N k_B.
CV=(∂U/∂T)_V=α N k_B. A entalpia é H=U+P V=(α+1)P V=(α+1)N k_B T, então
CP=(∂H/∂T)_P=(α+1)N k_B.
Passo 3
A razão de capacidades térmicas fica
γ= C_P/C_V = (α+1)N k_B / (α N k_B) = (α+1)/α.
Num processo adiabático δQ=0 e usa-se a relação
Se para um processo adiabático PV^γ=constante, então
γ= C_P/C_V = (α+1)N k_B / (α N k_B) = (α+1)/α.
Num processo adiabático δQ=0 e usa-se a relação
Se para um processo adiabático PV^γ=constante, então
Passo 4
Comparando U=α P V com U=(g/2)N k_B T vemos α=g/2. Assim γ=(g/2+1)/(g/2)=(g+2)/g. Logo:
(a) monoatômico g=3 ⇒ γ=(3+2)/3=5/3
(b) diatômico com energia fixa g=5 ⇒ γ=(5+2)/5=7/5
© diatômico com energia variável g=6 ⇒ γ=(6+2)/6=4/3
(a) monoatômico g=3 ⇒ γ=(3+2)/3=5/3
(b) diatômico com energia fixa g=5 ⇒ γ=(5+2)/5=7/5
© diatômico com energia variável g=6 ⇒ γ=(6+2)/6=4/3
Resposta
Para (a) γ=5/3; (b) γ=7/5; © γ=4/3