Considerando uma máquina térmica, operando em ciclos, entre
e
, usando um mol de gás ideal monoatômico. No início do processo, o gás sofre uma expansão isotérmica de
à
. Calcular:
(i) a eficiência máxima teórica para esse sistema;
(ii) o calor (q), o trabalho (w), a variação de energia interna
e de Entalpia (
) para cada etapa e para o ciclo completo;
(iii) calcular a variação de entropia para cada etapa do ciclo e para o ciclo completo.
(i) a eficiência máxima teórica para esse sistema;
(ii) o calor (q), o trabalho (w), a variação de energia interna
(iii) calcular a variação de entropia para cada etapa do ciclo e para o ciclo completo.
Passo 1
Dados e o que o enunciado pede (resumo claro):
- Temperaturas dos reservatórios:
e . - Converter para Kelvin:
- Um mol de gás ideal monoatômico:
. - Expansão isotérmica inicial de
para (ou seja, e ). - O enunciado pede:
(i) eficiência máxima teórica para o sistema;
(ii) calor, trabalho , variação de energia interna e variação de entalpia para cada etapa do ciclo e para o ciclo completo;
(iii) variação de entropia para cada etapa do ciclo e para o ciclo completo.
Observação útil (já identificada como necessária para resolver): para obter eficiência máxima entre dois reservatórios térmicos usamos o ciclo reversível ideal (ciclo de Carnot). Portanto vou assumir que o ciclo considerado é um ciclo de Carnot cujas etapas típicas são: isoterma quente (expansão)
de
para
, expansão adiabática
, isoterma fria (compressão)
de
para
, e compressão adiabática
retornando ao ponto inicial. A expansão isotérmica indicada no enunciado (20,0 L → 80,0 L) será a isoterma quente em
.
Passo 2
Escolha do modelo e constantes físicas (aula rápida do porquê):
- A eficiência máxima entre dois reservatórios depende só das temperaturas e é dada pelo ciclo reversível (Carnot). Por isso escolhemos o ciclo de Carnot.
- Constantes e propriedades do gás monoatômico ideal:
para gás monoatômico: - Observe: para um gás ideal monoatômico, a energia interna
depende só da temperatura e . A entalpia também depende só da temperatura e . Em transformações isotérmicas então .
Passo 3
Cálculo da eficiência máxima (fórmula e aplicação):
- Fórmula do ciclo de Carnot (eficiência máxima entre dois reservatórios):
- Aplicando os valores:
Calcule: então - Interpretação: no melhor caso reversível o motor converte cerca de
do calor absorvido em trabalho.
Passo 4
Geometria do ciclo: volumes nas etapas seguintes (relações adiabáticas) — explicando a fórmula:
- Para uma adiabática reversível do gás ideal vale:
- Temos
e durante a isoterma quente em . - Após a isoterma em
fazemos expansão adiabática até . Se chamarmos o volume no fim dessa expansão (início da isoterma fria), então Assim - Similarmente, para a adiabática final (compressão de
a ) que liga o final da isoterma fria ao : - Observe que, dividindo as duas expressões,
. Isso é a propriedade do ciclo de Carnot: as razões de volumes nas isotermas são iguais. - Calcule o fator:
- Então:
Passo 5
Isoterma quente (etapa 1:
, expansão
) — fórmula, ensino e cálculo:
- Para uma transformação isotérmica reversível de gás ideal o calor trocado é
Explicação: num isotérmico constante, , e o trabalho (reversível) é ; para satisfazer a 1ª lei com temos , o que dá a expressão acima. - Aplicando para
, , , (note que a razão é adimensional, logo unidades de volume não importam no ln): - Como
para isotérmico: - Trabalho (lembre-se do sinal: usamos a convenção
com trabalho sobre o sistema): Interpretação: significa que o sistema realizou trabalho sobre o entorno; o módulo do trabalho realizado é .
Passo 6
Expansão adiabática reversível (etapa 2:
,
) — fórmula e cálculo:
- Numa adiabática reversível
. Para gás ideal: - Para
, , , , :
- Como
, Interpretação: trabalho negativo (novamente, trabalho realizado pelo gás), módulo .
Passo 7
Isoterma fria (etapa 3:
, compressão
) — fórmula e cálculo:
- Novamente, para isoterma reversível:
- Como
, temos . - Então
O sinal negativo indica calor saindo do sistema (liberado para o reservatório frio). - Para isotérmica:
e . - Trabalho:
Interpretação: trabalho positivo (trabalho realizado sobre o sistema — compressão).
Passo 8
Compressão adiabática reversível (etapa 4:
,
) — fórmula e cálculo:
- Como em qualquer adiabática reversível
:
- Trabalho:
Interpretação: trabalho positivo significa trabalho feito sobre o sistema durante a compressão adiabática.
Passo 9
Soma das etapas — verificação da 1ª lei e eficiência prática (cálculo do ciclo completo):
- Soma dos calores:
: - Soma dos trabalhos:
: (novamente, adotando trabalho sobre o sistema; assim significa trabalho líquido realizado pelo sistema com módulo ). - Verificação da 1ª lei no ciclo:
(estado inicial = estado final). Então , consistente: . - Trabalho útil gerado pelo motor (módulo)
. - Eficiência pela definição prática:
que coincide com do Passo 3 — como deveria no ciclo de Carnot.
Passo 10
Variação de entropia por etapa e ciclo (fórmula, interpretação e cálculo):
- Em geral para um processo reversível:
- Etapa 1 (isoterma em
): - Etapa 2 (adiabática reversível):
. - Etapa 3 (isoterma em
): - Etapa 4 (adiabática reversível):
. - Soma do ciclo:
Interpretação: ciclo reversível (Carnot) tem variação de entropia total nula, como previsto pela termodinâmica reversível.
Resposta
(i) Eficiência máxima teórica:
(ii) Calores
, trabalhos
, variações
e
:
Isoterma quente (1)
,
:
Adiabática (2)
,
:
Isoterma fria (3)
,
:
Adiabática (4)
,
:
Ciclo completo (soma das etapas):
(iii) Variação de entropia por etapa e para o ciclo:
Isoterma quente (1):
Adiabática (2):
Isoterma fria (3):
Adiabática (4):
Ciclo completo: