1- Considere 100 \mathrm{~m}^{3} de uma mistura ar-vapor d’água a 100 \mathrm{kPa}, 35^{\circ} \mathrm{C} e 70 \% de umidade relativa. Encontre a umidade absoluta, a temperatura de ponto de orvalho, a massa de ar e a massa de vapor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Volume da mistura: V=100\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão total: p=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura: T=35^\circ\mathrm{C}.
  • Umidade relativa: \varphi=70\% = 0{,}70.
O enunciado pede:
  1. A umidade absoluta (aqui vamos interpretar como a razão de mistura \omega, isto é, massa de vapor por massa de ar seco: \omega = m_v/m_a).
  2. A temperatura de ponto de orvalho T_{dp} (temperatura na qual o vapor atual fica saturado, isto é, p_{sat}(T_{dp})=p_v).
  3. A massa de ar seco m_a.
  4. A massa de vapor m_v.
Observações úteis que vou usar (explicadas nos próximos passos):
  • Para vapor saturado usarei a fórmula de Magnus para p_{sat}(T) (em kPa) com T em ^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(T) = 0,61094\exp\!\left(\frac{17,625\,T}{243,04+T}\right).
  • A pressão parcial do vapor é p_v=\varphi\,p_{sat}(T).
  • A razão de mistura (umidade absoluta) é
\omega = 0{,}622\frac{p_v}{p-p_v},
onde 0{,}622=R_a/R_v (razão das constantes dos gases).
  • Para massas uso a lei dos gases ideais aplicando pressão parcial: m_a=\dfrac{p_a V}{R_a T_K} com p_a=p-p_v e T_K em Kelvin; e m_v=\omega\,m_a (ou diretamente m_v=\dfrac{p_v V}{R_v T_K}).

Passo 2

Calcular a pressão de saturação do vapor d’água a 35^\circ\mathrm{C} usando Magnus.
A fórmula (em kPa) é
p_{sat}(T)=0,61094\exp\!\left(\frac{17,625\,T}{243,04+T}\right).
Substituindo T=35^\circ\mathrm{C}:
\frac{17,625\cdot35}{243,04+35}=\frac{616{,}875}{278{,}04}\approx2{,}220,
p_{sat}(35^\circ\mathrm{C})=0,61094\exp(2{,}220)\approx5{,}626\\ \mathrm{kPa}.
Portanto:
p_{sat}(35^\circ\mathrm{C})\approx5{,}626\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Calcular a pressão parcial do vapor p_v, usando a umidade relativa.
p_v=\varphi\,p_{sat}=0{,}70\times5{,}626\\ \mathrm{kPa}\approx3{,}938\\ \mathrm{kPa}.
Então:
p_v\approx3{,}938\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Derivar e calcular a umidade absoluta \omega.
Derivação curta (intuitiva): pela lei dos gases ideais, massa de vapor e massa de ar seco são
m_v=\frac{p_v V}{R_v T_K},\qquad m_a=\frac{p_a V}{R_a T_K},
onde p_a=p-p_v, R_a\approx287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e R_v\approx461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Dividindo:
\omega=\frac{m_v}{m_a}=\frac{R_a}{R_v}\cdot\frac{p_v}{p-p_v}=0{,}622\frac{p_v}{p-p_v}.
Substituindo p_v e p (ambos em kPa, a fórmula aceita as mesmas unidades):
\omega=0{,}622\frac{3{,}938}{100-3{,}938}=0{,}622\frac{3{,}938}{96{,}062}\approx0{,}02549.
Expressões úteis: isto é \omega\approx0{,}02549\\ \mathrm{kg\\ de\\ vapor/kg\\ de\\ ar\\ seco}, ou convertendo para g/kg: 25{,}49\\ \mathrm{g/kg}.

Passo 5

Calcular a massa de ar seco m_a usando a lei dos gases ideais para o ar seco.
Primeiro converto temperatura para Kelvin:
T_K=35^\circ\mathrm{C}+273{,}15=308{,}15\\ \mathrm{K}.
Pressão parcial do ar seco:
p_a=p-p_v=100-3{,}938=96{,}062\\ \mathrm{kPa}=96\,062\\ \mathrm{Pa}.
Lei dos gases (em SI):
m_a=\frac{p_a V}{R_a T_K}.
Substituindo p_a=96\,062\\ \mathrm{Pa}, V=100\\ \mathrm{m}^3, R_a=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T_K=308{,}15\\ \mathrm{K}:
m_a=\frac{96\,062\times100}{287{,}05\times308{,}15}\approx\frac{9{,}606{,}200}{88{,}454{,}46}\approx108{,}61\\ \mathrm{kg}.
Portanto:
m_a\approx108{,}6\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Calcular a massa de vapor m_v. Posso usar m_v=\omega\,m_a (mais simples) ou a lei dos gases para o vapor como checagem.
Usando \omega:
m_v=\omega\,m_a=0{,}02549\times108{,}61\approx2{,}769\\ \mathrm{kg}.
Checagem rápida pela lei dos gases para vapor:
m_v=\frac{p_v V}{R_v T_K}=\frac{3{,}938\\ \mathrm{kPa}\times100\\ \mathrm{m}^3}{461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\times308{,}15\\ \mathrm{K}}.
Convertendo p_v para Pa: 3{,}938\\ \mathrm{kPa}=3\,938\\ \mathrm{Pa},
m_v\approx\frac{393{,}800}{142{,}196}\approx2{,}769\\ \mathrm{kg},
mesmo resultado (pequenas diferenças numéricas por arredondamento).

Passo 7

Calcular a temperatura de ponto de orvalho T_{dp}.
Definição: T_{dp} é a temperatura tal que p_{sat}(T_{dp})=p_v. Vou usar a forma inversa prática da fórmula de Magnus (para p em kPa e T em ^\circ\mathrm{C}):
T_{dp}=\frac{243{,}04\\ \ln\!\left(\dfrac{p_v}{0{,}61094}\right)}{17{,}625-\ln\!\left(\dfrac{p_v}{0{,}61094}\right)}.
Substituindo p_v em kPa ( p_v\approx3{,}938\\ \mathrm{kPa}):
\ln\!\left(\frac{3{,}938}{0{,}61094}\right)=\ln(6{,}444)\approx1{,}863,
T_{dp}=\frac{243{,}04\times1{,}863}{17{,}625-1{,}863}\approx\frac{452{,}6}{15{,}762}\approx28{,}7^\circ\mathrm{C}.
Portanto:
T_{dp}\approx28{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Resumo dos resultados (arredondamentos e interpretação):
  • Umidade absoluta (razão de mistura) \omega\approx0{,}0255\\ \mathrm{kg\\ de\\ vapor/kg\\ de\\ ar\\ seco} (ou 25{,}5\\ \mathrm{g/kg}).
  • Temperatura de ponto de orvalho T_{dp}\approx28{,}7^\circ\mathrm{C}.
  • Massa de ar seco m_a\approx108{,}6\\ \mathrm{kg}.
  • Massa de vapor m_v\approx2{,}77\\ \mathrm{kg}.
Vai dar bem na prova! Se quiser eu refaço os cálculos com mais casas decimais ou mostro um pequeno script/calculadora manual para aplicar isso rápido na prova.

Resposta

\omega \approx 0{,}0255\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}
T_{dp} \approx 28{,}7^\circ\mathrm{C}
m_a \approx 108{,}6\\ \mathrm{kg}
m_v \approx 2{,}77\\ \mathrm{kg}

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