Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, sem janelas, de 15 m de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22^{\circ} \mathrm{C}. As paredes da sala são feitas de tijolos de 25 cm de espessura, com k=0,14 \frac{k c a l}{h m^{\circ} \mathrm{C}}. A face externa pode estar até a 40^{\circ} \mathrm{C}. Desprezando a troca de calor pelo piso e pelo teto.
Dado: 1 \mathrm{HP}=641,19 \mathrm{kcal} / \mathrm{h}
pede-se:
a) o calor a ser extraído da sala pelo condicionador ( HP);
b) abrindo-se uma janela de 6 \mathrm{~m} \times 2 \mathrm{~m} em cada parede, qual será a nova capacidade (HP) necessária no condicionador (as janelas serão de vidro inteiriço ray-ban, de 6 mm de espessura, com k=0,9 \frac{k c a l}{h m^{\circ} \mathrm{C}} ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados:
  • Dimensões da sala: comprimento 15\\ \mathrm{m}, largura 6\\ \mathrm{m}, altura 3\\ \mathrm{m}.
  • Espessura das paredes: L_{\text{tijolo}}=0,25\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do tijolo: k_{\text{tijolo}}=0,14\\ \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h\;m\;^\circ C}}.
  • Temperatura interna desejada: T_{\text{in}}=22^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa (face externa): T_{\text{out}}=40^\circ\mathrm{C}.
  • Desprezar troca de calor pelo piso e teto.
  • Dado de conversão: 1\\ \mathrm{HP}=641,19\\ \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}}.
Para a parte (b):
  • Em cada parede abre-se uma janela de 6\\ \mathrm{m}\times2\\ \mathrm{m} (ou seja, área da janela por parede =12\\ \mathrm{m^2}).
  • Janelas de vidro inteiriço ray‑ban: espessura L_{\text{vidro}}=0,006\\ \mathrm{m} e k_{\text{vidro}}=0,9\\ \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h\;m\;^\circ C}}.
O enunciado pede:
(a) o calor a ser extraído da sala (em \mathrm{HP}) sem janelas;
(b) abrindo-se as quatro janelas (uma em cada parede), qual a nova capacidade necessária (em \mathrm{HP}).

Passo 2

Qual a equação que vamos usar e por quê. Para condução estacionária unidimensional através de uma parede homogênea vale a lei de condução (analogia de Ohm térmica):
\dot{Q}=\frac{k\,A\,\Delta T}{L},
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (energia por unidade de tempo), aqui em \mathrm{kcal/h};
  • k é a condutividade térmica do material ( \mathrm{kcal}/(\mathrm{h\;m\;^\circ C}));
  • A é a área perpendicular ao fluxo ( \mathrm{m^2});
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre os dois lados ( ^\circ\mathrm{C});
  • L é a espessura do material ( \mathrm{m}).
Comentário didático curto: essa fórmula é a forma direta para uma lâmina plana em regime permanente. Aqui estamos assumindo que as paredes se comportam como lâminas planas, que a temperatura externa da face é T_{\text{out}} e interna T_{\text{in}}, e que a resistência convectiva nas superfícies é desprezível ou embrulhada na hipótese do enunciado (o enunciado não fornece coeficientes convectivos, então usamos só a resistência por condução). Agora aplicamos ela às paredes.

Passo 3

Calcular a área total das quatro paredes sem janelas.
Duas paredes têm área 15\\ \mathrm{m}\times3\\ \mathrm{m} e duas têm 6\\ \mathrm{m}\times3\\ \mathrm{m}. Portanto a área total das paredes é
A_{\text{total}}=2\cdot(15\cdot3)+2\cdot(6\cdot3)=2\cdot45+2\cdot18=90+36=126\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Calcular a diferença de temperatura e aplicar a fórmula para o caso sem janelas.
A diferença de temperatura é
\Delta T = T_{\text{out}}-T_{\text{in}}=40-22=18\\ ^\circ\mathrm{C}.
Aplicando a fórmula de condução para todas as paredes (todas de tijolo, sem janelas):
\dot{Q}_{\text{sem janelas}}=\frac{k_{\text{tijolo}}\,A_{\text{total}}\,\Delta T}{L_{\text{tijolo}}} =\frac{0,14\cdot126\cdot18}{0,25}.
Agora calculo passo a passo:
126\cdot18=2268,
0,14\cdot2268=317,52,
\dot{Q}_{\text{sem janelas}}=\frac{317,52}{0,25}=317,52\cdot4=1270,08\\ \mathrm{kcal/h}.
Portanto é necessário extrair 1270,08\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 5

Converter a taxa de calor para \mathrm{HP}.
Usando 1\\ \mathrm{HP}=641,19\\ \mathrm{kcal/h},
\text{Potência (HP)}=\frac{\dot{Q}}{641,19}=\frac{1270,08}{641,19}\approx1,98\\ \mathrm{HP}.ê
Comentário rápido e motivador: ou seja, sem janelas a carga por condução através das paredes é bem pequena — cerca de 1,98\\ \mathrm{HP} — mas ainda lembrar que na prova podem aparecer outras cargas (pessoas, iluminação, infiltrações) que aumentariam isso; aqui calculamos só a condução solicitada.

Passo 6

Parte (b): calcular a nova situação com uma janela de 6\\ \mathrm{m}\times2\\ \mathrm{m} em cada parede.
Área de cada janela:
A_{\text{janela, por parede}}=6\cdot2=12\\ \mathrm{m^2}.
Como há quatro paredes, área total de janelas:
A_{\text{janela,total}}=4\cdot12=48\\ \mathrm{m^2}.
Área restante de tijolo (paredes menos janelas):
A_{\text{tijolo,nova}}=A_{\text{total}}-A_{\text{janela,total}}=126-48=78\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Calcular o calor que passa pelo tijolo remanescente (mesma fórmula).
\dot{Q}_{\text{tijolo}}=\frac{k_{\text{tijolo}}\,A_{\text{tijolo,nova}}\,\Delta T}{L_{\text{tijolo}}} =\frac{0,14\cdot78\cdot18}{0,25}.
Cálculos:
78\cdot18=1404,
0,14\cdot1404=196,56,
\dot{Q}_{\text{tijolo}}=\frac{196,56}{0,25}=196,56\cdot4=786,24\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 8

Calcular o calor que passa pelas janelas de vidro (cada janela de vidro considerada uma lâmina de espessura L_{\text{vidro}}=0,006\\ \mathrm{m}).
Aplicando a mesma fórmula para todo o conjunto de janelas:
\dot{Q}_{\text{vidro}}=\frac{k_{\text{vidro}}\,A_{\text{janela,total}}\,\Delta T}{L_{\text{vidro}}} =\frac{0,9\cdot48\cdot18}{0,006}.
Cálculos passo a passo:
48\cdot18=864,
0,9\cdot864=777,6,
\dot{Q}_{\text{vidro}}=\frac{777,6}{0,006}=777,6\cdot\frac{1}{0,006}=777,6\cdot166,\overline{6}=129600\\ \mathrm{kcal/h}.
Observação didática: esse número é muito grande porque o vidro é fino ( 6\\ \mathrm{mm}) e tem condutividade relativamente alta; assim a resistência térmica é pequena, resultando em uma grande transferência de calor por condução. Em problemas reais há também resistências convectivas e radiação que podem suavizar esse valor, mas seguindo o enunciado usamos apenas condução.

Passo 9

Somar as contribuições e converter para \mathrm{HP}.
Soma das taxas:
\dot{Q}_{\text{com janelas}}=\dot{Q}_{\text{tijolo}}+\dot{Q}_{\text{vidro}}=786,24+129600=130386,24\\ \mathrm{kcal/h}.
Converter para \mathrm{HP}:
\text{Potência (HP)}=\frac{130386,24}{641,19}\approx203,35\\ \mathrm{HP}.ê
Interpretação curta e incentivo: abriu-se muita área de vidro fino, por isso a capacidade necessária dispara — é normal que vidros finos causem uma carga enorme por condução. Dá para ver que na prova é importante notar a espessura e o k dos materiais.

Resposta

(a) 1,98\\ \mathrm{HP}
(b) 203,35\\ \mathrm{HP}

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