Considere um banco de transformadores monofásicos operando como um transformador trifásico.
Qual a relação entre as tensões de linha e de fase, nos lados primário e secundário, para as ligações Y-Y, \mathrm{Y}-\Delta, \quad \Delta-\mathrm{Y}, e \Delta-\Delta.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são as incógnitas/dados (vou nomear as tensões para ficar claro):
Pergunta: determinar as relações entre tensões de linha e de fase, nos lados primário e secundário, para as quatro ligações de banco trifásico formadas por transformadores monofásicos: \mathrm{Y}\!-\!\mathrm{Y},\\ \mathrm{Y}\!-\!\Delta,\\ \Delta\!-\!\mathrm{Y},\\ \Delta\!-\!\Delta.
Vou trabalhar com um sistema balanceado e transformadores ideais (sem perdas) e usar uma convenção de razão de transformação por fase:a \equiv \dfrac{V_{p,\text{ph}}}{V_{s,\text{ph}}},onde V_{p,\text{ph}} é a tensão de fase (entre enrolamento e neutro) no primário e V_{s,\text{ph}} a tensão de fase no secundário (tensão nos terminais do enrolamento do secundário).
Notação que vou usar:
V_{p,\text{ph}}: tensão de fase no primário (por exemplo V_{aN}).
V_{p,\text{L}}: tensão de linha no primário (por exemplo V_{ab}).
V_{s,\text{ph}}: tensão de fase no secundário (tensão do enrolamento secundário).
V_{s,\text{L}}: tensão de linha no secundário.
O objetivo concreto: (i) explicar relação entre V_{\text{L}} e V_{\text{ph}} em arranjos Y e Δ, e (ii) combinar isso com a razão a para obter a relação (módulo e deslocamento de fase quando houver) entre tensões de linha primário e secundário nas quatro ligações.
Passo 2
Conceito básico e derivação rápida (muito importante na prova): diferença entre tensão de fase e tensão de linha em ligação Y (estrela).
Em ligação \mathrm{Y} cada enrolamento fica entre um ponto de fase e o neutro; a tensão do enrolamento é a tensão de fase V_{\text{ph}}.
A tensão de linha entre duas fases (por exemplo V_{ab}) é a diferença entre duas tensões de fase:V_{ab}=V_{aN}-V_{bN}.
Para um sistema balanceado podemos tomar os fasores de referência:V_{aN}=V_{\text{ph}}\angle 0^\circ,\quad V_{bN}=V_{\text{ph}}\angle -120^\circ.EntãoV_{ab}=V_{\text{ph}}\big(1-e^{-j120^\circ}\big).
Calcule magnitude e ângulo de 1-e^{-j120^\circ}:\big|1-e^{-j120^\circ}\big|=\sqrt{3},\qquad \arg\big(1-e^{-j120^\circ}\big)=30^\circ.Portanto, em \mathrm{Y}V_{\text{L}}=\sqrt{3}\,V_{\text{ph}}\quad\text{e}\quad V_{\text{L}}\\ \text{está defasada }+30^\circ\\ \text{em relação à }V_{\text{ph}}.áçãà(Isto é, o fasor de linha V_{ab} tem módulo \sqrt{3}V_{\text{ph}} e ângulo 30^\circ maior que V_{aN}.)
Passo 3
Relação em ligação \Delta (delta) — é ainda mais simples:
Em \Delta cada enrolamento fica conectado entre duas linhas, então a tensão no enrolamento é exatamente a tensão de linha.
LogoV_{\text{ph}}=V_{\text{L}}\quad\text{(mesmo módulo e mesma fase entre o enrolamento e a respectiva tensão de linha).}óã
Não há fator \sqrt{3} nem deslocamento de 30^\circ entre a tensão do enrolamento e a tensão de linha: elas coincidem (para um enrolamento que está exatamente entre essas duas linhas).
Passo 4
Como usar a razão de transformação a para relacionar primário e secundário por fase:
Para cada transformador monofásico do banco vale, por definição,\dfrac{V_{p,\text{ph}}}{V_{s,\text{ph}}}=a.Em fasores isto pode ter também sinal/ângulo dependendo da polaridade do enrolamento; assumimos polaridades que não introduzem inversão de fase extra (ou seja, qualquer ângulo extra será fruto da topologia Y/Δ).
A partir das relações de Passos 2 e 3 combinamos as expressões V_{\text{L}} em cada lado com V_{\text{ph}} e com a para obter a relação entre V_{p,\text{L}} e V_{s,\text{L}} (módulo e defasagem).
Passo 5
Derivações caso a caso (vou escrever cada relação claramente, mostrando de onde vem o \sqrt{3} e o \pm30^\circ).
Ligação \mathrm{Y}-\mathrm{Y}
No primário: V_{p,\text{L}}=\sqrt{3}\,V_{p,\text{ph}}\angle 30^\circ.
No secundário: V_{s,\text{L}}=\sqrt{3}\,V_{s,\text{ph}}\angle 30^\circ.
Usando V_{p,\text{ph}}=a\,V_{s,\text{ph}} temos\dfrac{V_{p,\text{L}}}{V_{s,\text{L}}}=\dfrac{\sqrt{3}\,V_{p,\text{ph}}}{\sqrt{3}\,V_{s,\text{ph}}}=a\quad\text{(sem deslocamento de fase).}Portanto o ganho entre tensões de linha é simplesmente a (mesma fase).
Secundário (Δ): V_{s,\text{L}}=V_{s,\text{ph}} (sem \sqrt{3} nem deslocamento).
Usando V_{p,\text{ph}}=a\,V_{s,\text{ph}} obtemos\dfrac{V_{p,\text{L}}}{V_{s,\text{L}}}=\sqrt{3}\,a\angle 30^\circ.Ou equivalentementeV_{p,\text{L}}=\sqrt{3}\,a\angle 30^\circ\;V_{s,\text{L}}.Ou invertendo,V_{s,\text{L}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}\,a}\angle -30^\circ\;V_{p,\text{L}}.Observação: há fator \sqrt{3} e deslocamento de 30^\circ entre as linhas dos lados.
Resumo interpretação e dica prática de prova (pegar de memória com calma):
Regra rápida que facilita muito:
Em estrela (Y): V_{\text{L}}=\sqrt{3}\,V_{\text{ph}} e o fasor de linha está defasado +30^\circ em relação à tensão de fase usada como referência.
Em triângulo (Δ): V_{\text{L}}=V_{\text{ph}} (igualdade direta).
Para bancos formados por transformadores monofásicos, combine a relação acima com a razão por fase a. Se as conexões entre lados são diferentes (Y vs Δ) aparece o fator \sqrt{3} e um deslocamento de 30^\circ (sinal + ou − conforme se vai de Y para Δ ou Δ para Y).
Na hora da prova, faça sempre um pequeno desenho de fasores (ou marque um fase de referência) e aplique as regras locais acima; isso evita erro de sinal no ângulo de 30^\circ.