Uma indústria está avaliando a vida útil de um capacitor eletrônico utilizado em circuitos de alta performance. Sabendo que a função de confiabilidade R(t) por:
R(t)=1(0.01 t+1)^2
  • Deduzir a função de densidade de probabilidade (FDP) a partir da relação entre a confiabilidade e a PDF.
  • Com a PDF obtida, determine a probabilidade de falha do capacitor nos primeiros 150 minutos de operação. Resposta: F(t) cong 0 , 8 4 cong 8 4 %.
  • Qual a confiabilidade do capacitor para uma missão de 80 minutos? Resposta: R(t) cong 0 3 0 9 cong 30,9 %
    (Observação: Obrigatório resolver e detalhar as derivadas necessárias. Dica: Utilizar regra da cadeia).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente trabalhar com teoria de confiabilidade. A função de confiabilidade é
R(t)=1(0.01,t+1)^2,
Temos três objetivos:
  1. Deduzir a função densidade de probabilidade (PDF) a partir de R(t).
  2. Calcular a probabilidade de falha nos primeiros 150 min (ou seja, F(150)).
  3. Calcular a confiabilidade para 80 min (ou seja, R(80)).
O que vamos usar:
  • A relação entre confiabilidade e PDF: f(t)=-ddtR(t),
    - A relação entre função distribuição de falha F(t) e confiabilidade:
    F(t)=1-R(t),
  • Regra da cadeia para derivar (0.01t+1)^-2.

Passo 2

Derivando para achar a PDF:
  1. Escreve R(t)=(0.01t+1)^-2.
  2. Aplica a regra da cadeia: ddt(0.01t+1)^-2 = -2,(0.01t+1)^-3cdotddt(0.01t+1)
    3) Como ddt(0.01t+1)=0.01, vem
    ddtR(t) = -2cdot0.01,(0.01t+1)^-3 = -0.02(0.01t+1)^3,
  3. Logo, f(t)=-dRdt = 0.02(0.01,t+1)^3,

Passo 3

Agora F(150)=1-R(150). Primeiro calcula R(150):
R(150)=1(0.01cdot150+1)^2=1(1.5+1)^2=12.5^2=16.25=0.16,
Então
F(150)=1-0.16=0.84(ou seja, 84%)

Passo 4

Para a confiabilidade em 80 min, basta usar a mesma fórmula de R(t):
R(80)=1(0.01cdot80+1)^2=1(0.8+1)^2=11.8^2=13.24approx0.309(30,9%)

Resposta

PDF: f(t)=0.02(0.01,t+1)^3,,
Probabilidade de falha nos primeiros 150 min: F(150)=0.84;(84%),,
Confiabilidade em 80 min: R(80)approx0.309;(30,9%),

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