Um fabricante de motores elétricos deseja modelar a confiabilidade de um novo componente eletrônico. Sabe-se que os resistores seguem um modelo de falha exponencial com uma vida média de theta=5000. Determine a taxa de falha instantânea h(t) e a taxa de falha acumulada H(t) após 8000 h.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a falha dos resistores segue distribuição exponencial com vida média θ = 5000 h. A gente precisa achar duas coisas depois de t = 8000 h:
  1. a taxa de falha instantânea h(t)
  2. a taxa de falha acumulada H(t)
Conteúdo: confiabilidade, distribuição exponencial. Vamos precisar das fórmulas básicas: densidade, confiabilidade, taxa de falha (hazard) e hazard acumulado.

Passo 2

Primeiro, a teoria da distribuição exponencial:
  • Se T é o tempo até a falha, a densidade de probabilidade é f(t)=lambda,e^-lambda t,, t>=0
    - A função de confiabilidade (sobrevivência) é
    R(t)=Pr(T>t)=integralt^inftyf(u),du=e^-lambda t
  • A taxa de falha instantânea (hazard rate) é definida como h(t)=f(t)R(t)
    - A taxa de falha acumulada (hazard acumulado) é
    H(t)=integral0^t h(u),du
Agora vamos aplicar isso ao caso exponencial.

Passo 3

Para a exponencial a gente sabe que a taxa de falha é constante:
h(t)=lambdaforall t
E a vida média θ está ligada a λ por
theta=1lambda;Longrightarrow;lambda=1theta
Como θ = 5000 h,
lambda=15000=0,0002;(por hora)

Passo 4

Com λ calculado:
  1. A taxa de falha instantânea é h(t)=lambda=0,0002;h^-1
    2) A taxa de falha acumulada até t=8000 h é
    H(8000)=integral0^8000lambda,du=lambdacdot8000=0,0002times8000=1,6

Resposta

h(t)=0,0002 h⁻¹
H(8000)=1,6

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