Considere um ciclo Brayton simples que utiliza ar como fluido de trabalho, tem uma razão de pressão igual a 10 , uma temperatura máxima de ciclo de 800^{\circ} \mathrm{C} e opera na admissão do compressor a 100 kPa e 15^{\circ} \mathrm{C}. Utilizando as hipóteses do padrão a ar, determine (a) a temperatura do gás nas saídas do compressor e da turbina, (b) trabalho específico do compressor (c) trabalho específico da turbina (d) taxa de calor absorvido na câmara de combustão por unidade de massa (e) taxa de calor rejeitado para a atmosfera por unidade de massa.

Passo 1

Listando claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos estes números do enunciado):
  • Dados do ciclo:
    • razão de pressão (pressão de saída do compressor sobre admissão): \displaystyle r_p=10.
    • temperatura máxima do ciclo (entrada da turbina): \displaystyle T_3=800^\circ\mathrm{C}=1073,15\\ \mathrm{K}.
    • admissão do compressor: \displaystyle p_1=100\\ \mathrm{kPa} e \displaystyle T_1=15^\circ\mathrm{C}=288,15\\ \mathrm{K}.
  • Hipóteses do padrão a ar (dadas pelo enunciado e que vou usar explicitamente):
    • ar como gás ideal com capacidades caloríficas constantes.
    • compressão e expansão ideais e reversíveis (processos isentrópicos no compressor e na turbina).
    • sem perdas de pressão nas tubulações (ou seja p_2=p_3 e p_4=p_1).
  • Constantes padrão que adotarei (valores usuais para ar a condições próximas de ambiente):
    • \displaystyle c_p=1,005\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
    • \displaystyle \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}=1,4.
  • O enunciado pede:
    (a) temperaturas nas saídas do compressor e da turbina ( T_2 e T_4);
    (b) trabalho específico do compressor por unidade de massa ( w_c);
    (c) trabalho específico da turbina por unidade de massa ( w_t);
    (d) taxa de calor absorvido na câmara de combustão por unidade de massa ( q_{in});
    (e) taxa de calor rejeitado para a atmosfera por unidade de massa ( q_{out}).

Passo 2

Breve lembrança das fórmulas-chave (vou explicar de onde vêm e o que cada símbolo significa).
  • Para um processo isentrópico de gás perfeito com \gamma constante, a relação entre temperaturas e pressões é
T_2 = T_1\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}, \qquad T_4 = T_3\left(\dfrac{p_4}{p_3}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Aqui \,T é temperatura absoluta em kelvin e p é pressão absoluta. Essa relação é obtida combinando a lei isentrópica p v^\gamma= constante com a equação de estado p v = R T; eliminando v obtém-se T p^{-(\gamma-1)/\gamma}= constante, que rearranjado dá as fórmulas acima.
  • Trabalho específico (por unidade de massa) realizado em um compressor ou turbina, sob hipótese de energia interna dada por c_v e entalpia por c_p (capacidades constantes), para processos fronteira de escoamento entre dois estágios de temperatura é dado por variação de entalpia:
w_c = c_p\,(T_2-T_1) \qquad\text{(trabalho requerido pelo compressor)},
w_t = c_p\,(T_3-T_4) \qquad\text{(trabalho fornecido pela turbina)}.
Explicando: em máquinas a gás, o trabalho por unidade de massa está relacionado à variação de entalpia \Delta h = c_p \Delta T (com c_p constante).
  • Calores por unidade de massa no ciclo simples (entrada na câmara e rejeição ao ambiente):
q_{in} = c_p\,(T_3-T_2), \qquad q_{out} = c_p\,(T_4-T_1).
Essas fórmulas vêm de considerar o aquecimento a pressão praticamente constante na câmara e a rejeição também a pressão de admissão, portanto as variações de entalpia são as taxas de calor por unidade de massa.

Passo 3

Aplicando as relações isentrópicas para encontrar \displaystyle T_2 (saída do compressor).
  • Primeiro calculei o expoente:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1,4-1}{1,4}=\frac{0,4}{1,4}\approx0,285714.
  • Pressões conhecidas: \displaystyle p_2=p_3=r_p p_1=10\cdot p_1. Assim
T_2 = T_1\left(r_p\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • Substituindo números:
T_2 = 288,15\cdot 10^{0,285714}\approx 288,15\cdot 1,9307\approx 556,3\\ \mathrm{K}.
  • Convertendo para graus Celsius (se preferir ver assim):
T_2 = 556,3\\ \mathrm{K}-273,15\approx 283,2^\circ\mathrm{C}.
Comentários didáticos rápidos: a potência do compressor depende da diferença de temperatura entre entrada e saída; quanto maior a razão de pressão r_p, maior a temperatura de saída e maior o trabalho que o compressor precisa fornecer.

Passo 4

Calcular o trabalho específico do compressor \displaystyle w_c.
  • Fórmula e significado:
w_c = c_p\,(T_2-T_1),
onde \displaystyle c_p é a capacidade calorífica a pressão constante do ar (energia necessária para aumentar 1 kg de ar em 1 K à pressão constante).
  • Substituindo:
T_2-T_1 = 556,3-288,15=268,15\\ \mathrm{K},
w_c = 1,005\cdot 268,15\approx 269,5\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
Explicação prática: esse valor é a energia por kg que o compressor precisa fornecer para elevar a pressão (convertida em aumento de entalpia).

Passo 5

Aplicando a relação isentrópica para encontrar \displaystyle T_4 (saída da turbina).
  • Como p_3=p_2 e p_4=p_1, temos \displaystyle \dfrac{p_4}{p_3}=\dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{1}{r_p}. Portanto
T_4 = T_3\left(\dfrac{1}{r_p}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}} = T_3\cdot r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • Substituindo:
T_4 = 1073,15\cdot 10^{-0,285714}\approx 1073,15\cdot 0,5177\approx 556,3\\ \mathrm{K}.
  • Em Celsius:
T_4\approx 556,3\\ \mathrm{K}-273,15\approx 283,2^\circ\mathrm{C}.
Observação didática: neste caso numérico \,T_2 e \,T_4 ficaram numericamente muito próximos; isso é uma coincidência dos números escolhidos (razão de pressão e valor de T_3 e T_1). Não é sempre assim em todo Brayton.

Passo 6

Calcular o trabalho específico da turbina \displaystyle w_t.
  • Fórmula:
w_t = c_p\,(T_3-T_4).
  • Substituindo:
T_3-T_4 = 1073,15-556,3=516,85\\ \mathrm{K},
w_t = 1,005\cdot 516,85\approx 519,4\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
Explicação: esse é o trabalho útil por kg que a turbina entrega devido à expansão do gás quente.

Passo 7

Calcular o calor absorvido na câmara de combustão por unidade de massa \displaystyle q_{in}.
  • Fórmula (variação de entalpia entre entrada e saída da câmara):
q_{in} = c_p\,(T_3-T_2).
  • Substituindo:
T_3-T_2 = 1073,15-556,3=516,85\\ \mathrm{K},
q_{in} = 1,005\cdot 516,85\approx 519,4\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
Comentário: note que, numericamente, q_{in}=w_t porque T_3-T_2=T_3-T_4 quando T_2\approx T_4 — situação específica deste exemplo.

Passo 8

Calcular o calor rejeitado para a atmosfera por unidade de massa \displaystyle q_{out}.
  • Fórmula:
q_{out} = c_p\,(T_4-T_1).
  • Substituindo:
T_4-T_1 = 556,3-288,15=268,15\\ \mathrm{K},
q_{out} = 1,005\cdot 268,15\approx 269,5\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
Comentário final de verificação: o balanço energia do ciclo simples diz w_{net}=w_t-w_c=q_{in}-q_{out}. Se calcularmos:
w_{net}\approx 519,4-269,5\approx 249,9\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}},
o que é consistente com os valores obtidos.

Resposta

(a) T_2\approx 556,3\\ \mathrm{K}\;\left(283,2^\circ\mathrm{C}\right),\quad T_4\approx 556,3\\ \mathrm{K}\;\left(283,2^\circ\mathrm{C}\right)
(b) w_c\approx 269,5\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}
(c) w_t\approx 519,4\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}
(d) q_{in}\approx 519,4\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}
(e) q_{out}\approx 269,5\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}

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