Em uma termelétrica padrão funcionando sob o ciclo Rankine vapor d’água entra na turbina a 6 MPa e 750^{\circ} \mathrm{C}. Após sofrer uma expansão em uma turbina o fluido se encontra a 20 kPa e com um título de 85 \%. O fluido passa então por um condensador e é resfriado até 40^{\circ} \mathrm{C}, após isso uma bomba de 6 kW comprime o fluido até uma temperatura de 41^{\circ} \mathrm{C}. Ignore possíveis perdas de pressão nas trocas de calor.
a) Determine a vazão de água no ciclo
b) Determine a potência da turbina.
c) Determine a taxa de calor rejeitado no condensador.
d) Determine a taxa de calor absorvido na caldeira.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do problema:
  • Entrada da turbina: P_1=6{,}0\\ \text{MPa} e T_1=750^\circ\text{C}.
  • Saída da turbina: P_2=20\\ \text{kPa}=0{,}02\\ \text{MPa} e título x_2=85\%=0{,}85.
  • O fluido do condensador é resfriado até T_3=40^\circ\text{C} (saída do condensador, líquido subresfriado).
  • A bomba fornece potência \dot W_{\text{bomba}}=6\\ \text{kW} e eleva o fluido até T_4=41^\circ\text{C}. Ignorar perdas de pressão nas trocas de calor.
  • Pressão após a bomba: assume-se que a bomba eleva a pressão até a pressão da caldeira P_4\approx P_1=6{,}0\\ \text{MPa} (ciclo Rankine fechado típico).
O enunciado pede:
(a) determinar a vazão mássica \dot m da água no ciclo;
(b) determinar a potência da turbina \dot W_{\text{tur}};
(c) determinar a taxa de calor rejeitado no condensador \dot Q_{\text{out}};
(d) determinar a taxa de calor absorvido na caldeira \dot Q_{\text{in}}.
Observação: vou usar propriedades da água/vapor obtidas em tabelas de vapor (tabelas saturadas e superaquecido). Quando eu usar um valor retirado da tabela vou indicar explicitamente o valor usado.

Passo 2

Calcular h_2 (entalpia na saída da turbina) a partir do título x_2 e das propriedades saturadas em P_2=0{,}02\\ \text{MPa}.
Fórmula para mistura líquido-vapor:
h_2 = h_f(P_2) + x_2\,h_{fg}(P_2)
Onde h_f é a entalpia do líquido saturado e h_{fg}=h_g-h_f é a entalpia latente (vapor menos líquido) à pressão dada.
Valores da tabela (peguei da tabela de propriedades saturadas à pressão 0{,}02\\ \text{MPa}):
T_{\text{sat}}(0{,}02\\ \text{MPa})=60{,}06^\circ\text{C}, \quad h_f=251{,}13\\ \text{kJ/kg}, \quad h_g=2584{,}70\\ \text{kJ/kg}.
Logo
h_{fg}=h_g-h_f=2584{,}70-251{,}13=2333{,}57\\ \text{kJ/kg}.
Aplicando:
h_2 = 251{,}13 + 0{,}85\cdot 2333{,}57 = 251{,}13 + 1983{,}535 = 2234{,}67\\ \text{kJ/kg}.
Explicação didática curta: o título x é a fração mássica de vapor; a entalpia de mistura é a média ponderada entre a entalpia do líquido saturado e do vapor saturado.

Passo 3

Determinar h_3 (entalpia na saída do condensador, líquido resfriado a 40^\circ\text{C}) e o volume específico v_3 do líquido a 40^\circ\text{C}.
Para líquido subresfriado próximo do líquido saturado, é comum aproximar h_3 pelo valor de h_f à mesma temperatura (tabelas dão h_f em função de T). Peguei na tabela de propriedades saturadas (ou tabela de água líquida) os valores à temperatura 40^\circ\text{C}:
h_3 \approx h_f(40^\circ\text{C}) = 167{,}53\\ \text{kJ/kg}.
O volume específico do líquido à 40^\circ\text{C} (tabela) é:
v_3 \approx v_f(40^\circ\text{C}) = 0{,}001012\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Explicação didática: líquidos têm pequena compressibilidade e a entalpia do líquido subresfriado é muito próxima da do líquido saturado à mesma temperatura; usamos isso para estimar h_3 e v_3.

Passo 4

Determinar h_4 (entalpia após a bomba). Para líquidos praticamente incompressíveis a variação de entalpia na bomba é aproximada por:
h_4 \approx h_3 + v_3\,(P_4-P_3),
onde as pressões devem estar em Pascal (ou coerentes com as unidades do produto).
Aqui P_3=P_2=0{,}02\\ \text{MPa}=2{,}0\cdot10^{4}\\ \text{Pa} e P_4\approx P_1=6{,}0\\ \text{MPa}=6{,}0\cdot10^{6}\\ \text{Pa}. Então
\Delta P = P_4-P_3 = 6{,}0\cdot10^{6}-2{,}0\cdot10^{4}=5{,}98\cdot10^{6}\\ \text{Pa}.
Calculemos o termo v_3\Delta P:
v_3\Delta P = 0{,}001012\cdot 5{,}98\cdot10^{6}=6050\\ \text{J/kg}=6{,}05\\ \text{kJ/kg}.
Portanto
h_4 \approx 167{,}53 + 6{,}05 = 173{,}58\\ \text{kJ/kg}.
Explicação: a relação vem da forma diferencial dh \approx v\,dP para líquido (quando trabalho de bombas e efeito cinético/potencial são desprezíveis).

Passo 5

Determinar a vazão mássica \dot m usando a potência fornecida pela bomba. A relação de potência na bomba (energia por unidade de tempo) é:
\dot W_{\text{bomba}} = \dot m\,(h_4-h_3).
Isolando \dot m:
\dot m = \frac{\dot W_{\text{bomba}}}{h_4-h_3}.
Substituindo \dot W_{\text{bomba}}=6{,}0\\ \text{kW}=6000\\ \text{W} e h_4-h_3=6{,}05\\ \text{kJ/kg}=6050\\ \text{J/kg}:
\dot m = \frac{6000}{6050}=0{,}9917\\ \text{kg/s}\approx 0{,}992\\ \text{kg/s}.
Explicação didática: a bomba fornece uma potência conhecida; dividindo pela energia por kg fornecida à água obtemos quantos kg/s podem ser bombeados.

Passo 6

Determinar h_1 (entalpia na entrada da turbina) a partir da tabela de vapor superaquecido em P_1=6{,}0\\ \text{MPa} e T_1=750^\circ\text{C}.
Valor obtido na tabela superaquecida (peguei em tabela padrão de vapor superaquecido):
h_1 = 3\,792{,}0\\ \text{kJ/kg}.
(Nota: este valor é o obtido na tabela de vapor superaquecido para P=6{,}0\\ \text{MPa} e T=750^\circ\text{C}.)
Explicação curta: a tabela superaquecida dá diretamente a entalpia h como função de P e T quando o vapor está superaquecido.

Passo 7

Calcular o trabalho específico da turbina e a potência da turbina.
O trabalho específico produzido pela turbina (por kg de vapor que passa) é:
w_{\text{turb}} = h_1 - h_2.
Substituindo os valores:
w_{\text{turb}} = 3792{,}0 - 2234{,}67 = 1557{,}33\\ \text{kJ/kg}.
A potência produzida pela turbina é:
\dot W_{\text{tur}} = \dot m\,w_{\text{turb}} = 0{,}9917\cdot 1557{,}33 = 1544{,}2\\ \text{kW}.
Explicação: assumimos expansão ideal (energia específica retirada pela turbina é a diferença de entalpias brutas entre entrada e saída). Aqui estou calculando potência bruta da turbina, antes de qualquer acoplamento com a bomba.

Passo 8

Calcular a taxa de calor rejeitado no condensador \dot Q_{\text{out}}.
A energia por kg rejeitada no condensador é:
q_{\text{out}} = h_2 - h_3 = 2234{,}67 - 167{,}53 = 2067{,}14\\ \text{kJ/kg}.
Logo a taxa total rejeitada é:
\dot Q_{\text{out}} = \dot m\,q_{\text{out}} = 0{,}9917\cdot 2067{,}14 = 2050{,}2\\ \text{kW}.
Explicação: o condensador retira a energia que o fluido carregou vindo da turbina para deixá-lo líquido e frio; por kg é a diferença de entalppia entre a mistura da saída da turbina e o líquido frio.

Passo 9

Calcular a taxa de calor absorvido na caldeira \dot Q_{\text{in}}.
A energia por kg absorvida na caldeira é:
q_{\text{in}} = h_1 - h_4 = 3792{,}0 - 173{,}58 = 3618{,}42\\ \text{kJ/kg}.
Então
\dot Q_{\text{in}} = \dot m\,q_{\text{in}} = 0{,}9917\cdot 3618{,}42 = 3587{,}0\\ \text{kW}.
Verificação rápida de balanço de energia (checagem): \dot W_{\text{net}}=\dot W_{\text{tur}}-\dot W_{\text{bomba}}=1544{,}2-6{,}0=1538{,}2\\ \text{kW}. E \dot Q_{\text{in}}-\dot Q_{\text{out}}=3587{,}0-2050{,}2=1536{,}8\\ \text{kW}. As diferenças são pequenas e compatíveis com arredondamentos, o que confirma coerência dos cálculos.

Passo 10

Resumo dos valores de propriedades usados (retirados de tabelas de vapor):
  • Em P_2=0{,}02\\ \text{MPa} (tabela saturada): h_f=251{,}13\\ \text{kJ/kg}, h_g=2584{,}70\\ \text{kJ/kg}.
  • Em T_3=40^\circ\text{C}: h_f(40^\circ\text{C})=167{,}53\\ \text{kJ/kg}, v_f(40^\circ\text{C})=0{,}001012\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Em P_1=6{,}0\\ \text{MPa} e T_1=750^\circ\text{C} (tabela superaquecida): h_1=3792{,}0\\ \text{kJ/kg}.
Esses foram os números de tabela usados para obter as respostas numéricas.

Resposta

\dot m = 0{,}992\\ \text{kg/s}
\dot W_{\text{tur}} = 1544{,}2\\ \text{kW}
\dot Q_{\text{out}} = 2050{,}2\\ \text{kW}
\dot Q_{\text{in}} = 3587{,}0\\ \text{kW}

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