Considere dois ciclos de bombeamento de calor: um reversível ® e um irreversível (I). Ambos os ciclos recebem calor do mesmo reservatório térmico
. O ciclo R fornece calor de o reservatório térmico
e o ciclo I fornece calor de um outro reservatório
. Os ciclos apresentam o mesmo coeficiente de desempenho
.
Utilize a definição da escala Kelvin de temperatura e os corolários descritos em (a) para determinar (usando argumentos lógicos e matemáticos) qual reservatório está mais quente
ou
.
Utilize a definição da escala Kelvin de temperatura e os corolários descritos em (a) para determinar (usando argumentos lógicos e matemáticos) qual reservatório está mais quente
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos dois ciclos de bomba de calor (a.k.a. ciclos de “bombeamento de calor”):
- Ciclo R (reversível) que suga calor de um reservatório à temperatura
e entrega calor em . - Ciclo I (irreversível) que também suga calor de
mas entrega calor em .
Os dois têm o mesmo coeficiente de desempenho (COP), isto é,
A pergunta é: usando a definição da escala Kelvin e o fato de que máquinas irreversíveis têm desempenho sempre menor que as reversíveis, como sabemos qual reservatório está mais quente,
ou
?
Para resolver isso vamos precisar:
Para resolver isso vamos precisar:
- da fórmula do COP de uma bomba de calor reversível, em Kelvin;
- do corolário que diz
quando operam entre as mesmas temperaturas; - manipular a desigualdade para comparar
e .
Passo 2
Primeiro, qual é o COP de uma bomba de calor reversível?
Em termos de temperaturas absolutas, a gente define
Em termos de temperaturas absolutas, a gente define
Aqui, para o ciclo R,
e
. Então
Isso vem diretamente da segunda lei para ciclos reversíveis e da definição de escala Kelvin, que garante que as razões de calor são iguais às razões de temperatura.
Passo 3
Agora, para qualquer bomba de calor irreversível (operando entre as mesmas temperaturas), vale o corolário:
No nosso caso, o ciclo I tem temperaturas
(fonte fria) e
(fonte quente), então o “COP reversível de referência” seria
Logo
Passo 4
Mas o enunciado diz que
. Substituindo:
E como vimos,
. Então
Basta resolver essa desigualdade:
- Multiplica em cruz (todas as temperaturas são positivas em Kelvin):
- Expande:
- Cancela
dos dois lados:
- Divide por
(lembra de inverter o sinal!):
Resposta
O reservatório
é mais quente que o reservatório
.