Considere dois ciclos de bombeamento de calor: um reversível ® e um irreversível (I). Ambos os ciclos recebem calor do mesmo reservatório térmico (RT3). O ciclo R fornece calor de o reservatório térmico RT1 e o ciclo I fornece calor de um outro reservatório RT2. Os ciclos apresentam o mesmo coeficiente de desempenho gammaI=gammaR.
Utilize a definição da escala Kelvin de temperatura e os corolários descritos em (a) para determinar (usando argumentos lógicos e matemáticos) qual reservatório está mais quente (RT1 ou RT2).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois ciclos de bomba de calor (a.k.a. ciclos de “bombeamento de calor”):
  • Ciclo R (reversível) que suga calor de um reservatório à temperatura gammaR = gammaI e entrega calor em .
  • Ciclo I (irreversível) que também suga calor de mas entrega calor em .
Os dois têm o mesmo coeficiente de desempenho (COP), isto é,
A pergunta é: usando a definição da escala Kelvin e o fato de que máquinas irreversíveis têm desempenho sempre menor que as reversíveis, como sabemos qual reservatório está mais quente, ou ?
Para resolver isso vamos precisar:
  1. da fórmula do COP de uma bomba de calor reversível, em Kelvin;
  2. do corolário que diz quando operam entre as mesmas temperaturas;
  3. manipular a desigualdade para comparar e .

Passo 2

Primeiro, qual é o COP de uma bomba de calor reversível?
Em termos de temperaturas absolutas, a gente define
gammaR = QentregueW = TquenteTquente - Tfria
Aqui, para o ciclo R, gammaR = T1,T1 - T3, e . Então
Isso vem diretamente da segunda lei para ciclos reversíveis e da definição de escala Kelvin, que garante que as razões de calor são iguais às razões de temperatura.

Passo 3

Agora, para qualquer bomba de calor irreversível (operando entre as mesmas temperaturas), vale o corolário:
gammaI < gammaR^(reversível entre as mesmas T) í
No nosso caso, o ciclo I tem temperaturas gammaR^ref = T2,T2 - T3, (fonte fria) e gammaI < T2,T2 - T3, (fonte quente), então o “COP reversível de referência” seria
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Passo 4

Mas o enunciado diz que gammaR = gammaI < T2,T2 - T3, . Substituindo:
T1,T1 - T3, < T2,T2 - T3,
E como vimos, T1,(T2 - T3) < T2,(T1 - T3) . Então
T1 T2 - T1 T3 < T2 T1 - T2 T3
Basta resolver essa desigualdade:
  1. Multiplica em cruz (todas as temperaturas são positivas em Kelvin):
-,T1 T3 < -,T2 T3
  1. Expande:
T1 > T2
  1. Cancela dos dois lados:
  1. Divide por (lembra de inverter o sinal!):

Resposta

O reservatório é mais quente que o reservatório .

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