Considere dois ciclos motores: um reversível ® e um irreversível (I). Ambos os ciclos descarregam calor para o mesmo reservatório térmico RT3. O ciclo R recebe calor de um reservatório térmico RT1 e o ciclo I recebe calor de um outro reservatório RT2. Os ciclos apresentam a mesma eficiência térmica.
Utilize a definição da escala Kelvin de temperatura e os corolários descritos em (a) para determinar (usando argumentos lógicos e matemáticos) qual reservatório está mais quente (RT1 ou RT2).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois ciclos motores que despejam calor no mesmo reservatório frio RT₃.
  • O ciclo R é reversível, recebe calor de RT₁ e tem eficiência térmica ηᵣ.
  • O ciclo I é irreversível, recebe calor de RT₂ e tem a mesma eficiência ηᵢ = ηᵣ.
    Queremos descobrir, usando a definição da escala Kelvin (η_Carnot = 1 – T_frio/T_quente) e o corolário “nenhum motor é mais eficiente que o de Carnot”, qual dos dois reservatórios quentes é mais quente: RT₁ ou RT₂.
    O que vamos usar:
  1. A fórmula da eficiência de Carnot: η_C = 1 – T₃/T_quente.
  2. O fato de que um motor irreversível não ultrapassa essa eficiência.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a eficiência do ciclo reversível R (que é um Carnot):
ηᵣ = 1 – T₃/T₁.
Como o ciclo I é irreversível, sua eficiência ηᵢ satisfaz
ηᵢ ≤ η_Carnot entre T₂ e T₃ ⇒ ηᵢ ≤ 1 – T₃/T₂.
Mas nos deram que ηᵢ = ηᵣ. Então:
ηᵣ ≤ 1 – T₃/T₂.

Passo 3

Substituindo ηᵣ = 1 – T₃/T₁ nessa desigualdade:
1 – T₃/T₁ ≤ 1 – T₃/T₂.
Agora, simplificando (subtraindo 1 de ambos os lados e multiplicando por –1, o que inverte a desigualdade):
T₃/T₁ ≥ T₃/T₂.
Como T₃ > 0, podemos dividir por T₃:
1/T₁ ≥ 1/T₂
⇒ T₁ ≤ T₂.

Passo 4

A desigualdade T₁ ≤ T₂ significa que o reservatório RT₂ tem temperatura maior ou igual à de RT₁. Como queremos saber “quem está mais quente”, concluímos que RT₂ é mais quente que RT₁.

Resposta

O reservatório RT₂ está mais quente que o RT₁.

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