Considere dois ciclos motores: um reversível ® e um irreversível (I). Ambos os ciclos descarregam calor para o mesmo reservatório térmico
. O ciclo R recebe calor de um reservatório térmico
e o ciclo I recebe calor de um outro reservatório
. Os ciclos apresentam a mesma eficiência térmica.
Utilize a definição da escala Kelvin de temperatura e os corolários descritos em (a) para determinar (usando argumentos lógicos e matemáticos) qual reservatório está mais quente
ou
.
Utilize a definição da escala Kelvin de temperatura e os corolários descritos em (a) para determinar (usando argumentos lógicos e matemáticos) qual reservatório está mais quente
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos dois ciclos motores que despejam calor no mesmo reservatório frio RT₃.
- O ciclo R é reversível, recebe calor de RT₁ e tem eficiência térmica ηᵣ.
- O ciclo I é irreversível, recebe calor de RT₂ e tem a mesma eficiência ηᵢ = ηᵣ.
Queremos descobrir, usando a definição da escala Kelvin (η_Carnot = 1 – T_frio/T_quente) e o corolário “nenhum motor é mais eficiente que o de Carnot”, qual dos dois reservatórios quentes é mais quente: RT₁ ou RT₂.
O que vamos usar:
- A fórmula da eficiência de Carnot: η_C = 1 – T₃/T_quente.
- O fato de que um motor irreversível não ultrapassa essa eficiência.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a eficiência do ciclo reversível R (que é um Carnot):
ηᵣ = 1 – T₃/T₁.
Como o ciclo I é irreversível, sua eficiência ηᵢ satisfaz
ηᵢ ≤ η_Carnot entre T₂ e T₃ ⇒ ηᵢ ≤ 1 – T₃/T₂.
Mas nos deram que ηᵢ = ηᵣ. Então:
ηᵣ ≤ 1 – T₃/T₂.
ηᵣ = 1 – T₃/T₁.
Como o ciclo I é irreversível, sua eficiência ηᵢ satisfaz
ηᵢ ≤ η_Carnot entre T₂ e T₃ ⇒ ηᵢ ≤ 1 – T₃/T₂.
Mas nos deram que ηᵢ = ηᵣ. Então:
ηᵣ ≤ 1 – T₃/T₂.
Passo 3
Substituindo ηᵣ = 1 – T₃/T₁ nessa desigualdade:
1 – T₃/T₁ ≤ 1 – T₃/T₂.
Agora, simplificando (subtraindo 1 de ambos os lados e multiplicando por –1, o que inverte a desigualdade):
T₃/T₁ ≥ T₃/T₂.
Como T₃ > 0, podemos dividir por T₃:
1/T₁ ≥ 1/T₂
⇒ T₁ ≤ T₂.
1 – T₃/T₁ ≤ 1 – T₃/T₂.
Agora, simplificando (subtraindo 1 de ambos os lados e multiplicando por –1, o que inverte a desigualdade):
T₃/T₁ ≥ T₃/T₂.
Como T₃ > 0, podemos dividir por T₃:
1/T₁ ≥ 1/T₂
⇒ T₁ ≤ T₂.
Passo 4
A desigualdade T₁ ≤ T₂ significa que o reservatório RT₂ tem temperatura maior ou igual à de RT₁. Como queremos saber “quem está mais quente”, concluímos que RT₂ é mais quente que RT₁.
Resposta
O reservatório RT₂ está mais quente que o RT₁.