Considere duas máquinas térmicas que operam entre os mesmos dois reservatórios térmicos: um a alta temperatura, TH, e outro a baixa temperatura, TL. A Máquina 1, de natureza desconhecida (podendo ou não ser reversível), realiza a mesma quantidade líquida de trabalho por ciclo que a Máquina 2, que é uma máquina térmica reversível (como a de Carnot). Com base nesse arranjo, prove, utilizando os enunciados da Segunda Lei da Termodinâmica, os dois Princípios de Carnot:
a. Nenhuma máquina térmica pode ser mais eficiente do que uma máquina térmica reversível operando entre os mesmos dois reservatórios térmicos.
b. Todas as máquinas térmicas reversíveis operando entre os mesmos dois reservatórios térmicos possuem a mesma eficiência.

Passo 1

O enunciado apresenta duas máquinas térmicas que operam entre um reservatório quente a temperatura TH e um frio a TL. A Máquina 1 é qualquer máquina (possivelmente irreversível) e a Máquina 2 é uma máquina reversível (Carnot). Ambas produzem o mesmo trabalho líquido por ciclo, W. Vamos usar o enunciado de Clausius da Segunda Lei para provar:
a) nenhuma máquina pode ter eficiência maior que uma reversível entre os mesmos reservatórios;
b) duas máquinas reversíveis entre os mesmos reservatórios têm a mesma eficiência.

Passo 2

Definimos para cada máquina i=1,2 ,QH^(i) = calor absorvido do reservatório quente,
,QL^(i) = calor cedido ao reservatório frio,
,W=QH^(i) - QL^(i).
A eficiência de cada máquina é
etai = WQH^(i) = 1 - QL^(i)QH^(i)
Sabemos que Máquina 2 é reversível (Carnot), portanto sua eficiência eta2 é a máxima possível se não violarmos a Segunda Lei.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que a Máquina 1 seja mais eficiente que a reversível, isto é
eta1 > eta2
Então
WQH^(1) > WQH^(2) Longrightarrow QH^(1) < QH^(2)
Como W = QH^(i) - QL^(i), segue
QL^(1) = QH^(1) - W < QH^(2) - W = QL^(2)

Passo 4

Agora acoplamos a Máquina 1 operando no ciclo direto com a Máquina 2 operando no ciclo inverso, fornecendo a ela exatamente o trabalho W. O balanço do processo combinado é:
— Trabalho líquido trocado: +W da Máquina 1 e -W na Máquina 2 reversa, logo Wtot=0.
— Calor extraído do quente: QH^(1) por Máquina 1 menos o calor depositado pela reversa de Máquina 2, que é -QH^(2), resultando em De<a QH=QH^(1)-QH^(2)<0.
— Calor extraído do frio: Máquina 2 reversa retira QL^(2) do frio, e Máquina 1 devolve QL^(1), então
De<a QL = -QL^(2) + QL^(1) < 0 Longrightarrow De<a QL = -(QL^(2) - QL^(1))<0
Como Wtot=0, a energia está conservada, e de fato o processo combinado tem apenas o efeito líquido de transferir calor QL^(2)-QL^(1)>0 do reservatório frio para o quente, sem trabalho externo.

Passo 5

Esse resultado viola diretamente o enunciado de Clausius da Segunda Lei, que proíbe “processos cujo único resultado seja transferir calor de um corpo frio para um corpo quente”. Logo nossa suposição eta1>eta2 está errada. Concluímos:
Nenhuma máquina pode ser mais eficiente que uma máquina reversível operando entre os mesmos reservatórios.

Passo 6

Para provar o segundo princípio, considere duas máquinas reversíveis R1 e R2 entre os mesmos reservatórios, com eficiências etaR1 e etaR2. Se uma delas fosse mais eficiente que a outra, aplicaríamos exatamente o mesmo argumento do Passo 3 5, obtendo uma contradição com o enunciado de Clausius. Portanto
etaR1 = etaR2
Ou seja, todas as máquinas reversíveis entre os mesmos reservatórios têm a mesma eficiência.

Resposta

a. Nenhuma máquina térmica pode ser mais eficiente do que uma máquina térmica reversível operando entre os mesmos dois reservatórios.
b. Todas as máquinas térmicas reversíveis operando entre os mesmos dois reservatórios térmicos possuem a mesma eficiência.

Exercícios relacionados