Considere a equação de Arrhenius
com os valores:
Eat
joules por mol e kelvin (J/mol.K).
Avalie em que faixa de temperatura há maior alteração na velocidade da reação.
Eat
Avalie em que faixa de temperatura há maior alteração na velocidade da reação.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo para estudar a equação de Arrhenius
com
,
e
.
O objetivo é descobrir em que faixa de temperatura a velocidade muda mais rapidamente (ou seja, onde a variação dV/dT é máxima).
Conteúdo: derivadas (para achar dV/dT) e otimização (achar máximo de uma função).
O objetivo é descobrir em que faixa de temperatura a velocidade
Conteúdo: derivadas (para achar dV/dT) e otimização (achar máximo de uma função).
Passo 2
Primeiro, a gente explica a teoria:
- A equação de Arrhenius mostra como a taxa
depende de . - Para ver onde
varia mais rápido, calculamos a derivada . - Depois achamos onde essa derivada atinge o valor máximo.
Passo 3
Vamos escrever
e derivar:
Definindo o expoente
, temos
Pela regra da cadeia,
Agora
, então
Logo,
Passo 4
Para achar onde
é máximo, analisamos a função
(valor de
difere de
só por constantes positivas).
Tomamos e derivamos em relação a
:
Tomamos
Para máximo, colocamos isso igual a zero:
Passo 5
Só falta botar números:
Isso quer dizer que, matematicamente, a variação de
com
é mais brusca lá em baixíssima temperatura (em torno de 1,5 K). Para qualquer temperatura maior, a inclinação
só cai.
Resposta
A maior alteração na velocidade ocorre em baixas temperaturas, com pico de sensibilidade exatamente em