Considere a equação de Arrhenius V=A cdot e^-E a t / R T com os valores:
A=400 mol / min
Eat =25 J / mol
R=8,31 joules por mol e kelvin (J/mol.K).
Avalie em que faixa de temperatura há maior alteração na velocidade da reação.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo para estudar a equação de Arrhenius
V = A , e^-Ea/(R,T)
com , e .
O objetivo é descobrir em que faixa de temperatura a velocidade muda mais rapidamente (ou seja, onde a variação dV/dT é máxima).
Conteúdo: derivadas (para achar dV/dT) e otimização (achar máximo de uma função).

Passo 2

Primeiro, a gente explica a teoria:
  • A equação de Arrhenius mostra como a taxa depende de .
  • Para ver onde varia mais rápido, calculamos a derivada .
  • Depois achamos onde essa derivada atinge o valor máximo.

Passo 3

Vamos escrever V(T)=A;e^-Ea/(R,T) e derivar:
V(T)=A,e^phi(T)
Definindo o expoente dVdT = A,e^phi(T);phi'(T) , temos
phi'(T) = -Ea cdot ddTl(tfrac1R,Tr) = -Ea; l(-tfrac1R,T^2r) = EaR,T^2
Pela regra da cadeia,
dVdT = A,e^-Ea/(R,T);EaR,T^2
Agora , então
Logo,

Passo 4

Para achar onde f(T)=1T^2,e^-Ea/(R,T) é máximo, analisamos a função
ddTln f(T) = -2T + EaR,T^2
(valor de -2T + EaR,T^2=0 ;;Longrightarrow;; EaR,T^2=2T ;;Longrightarrow;; T=Ea2R difere de só por constantes positivas).
Tomamos e derivamos em relação a :
Para máximo, colocamos isso igual a zero:

Passo 5

Só falta botar números:
T = 25 J/mol2;times;8,31 J/(molcdot K) approx 2516,62approx1,50 K
Isso quer dizer que, matematicamente, a variação de com é mais brusca lá em baixíssima temperatura (em torno de 1,5 K). Para qualquer temperatura maior, a inclinação só cai.

Resposta

A maior alteração na velocidade ocorre em baixas temperaturas, com pico de sensibilidade exatamente em
T = Ea2R approx 1,50 K

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