Considere a equação de estado de Berthelot:
P=R Tv-b-aT v^2
Use os resultados do Problema 4.22 para escrever as expressões obtidas na parte (a) em termos da pressão, da temperatura e do volume reduzidos.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a Equação de Estado de Berthelot, que relaciona pressão ( P), temperatura ( T), e volume específico ( v). O enunciado quer que a gente use resultados de outro problema (o Problema 4.22) para reescrever essa equação em termos das variáveis reduzidas: pressão reduzida ( Pr), temperatura reduzida ( Tr) e volume reduzido ( vr). Para isso, vamos precisar entender o que são essas variáveis reduzidas e como elas se relacionam com a equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são variáveis reduzidas. Elas são formas normalizadas das variáveis termodinâmicas, que facilitam a comparação entre diferentes substâncias. As fórmulas para elas são:
Pr = PPc , Tr = TTc , vr = vvc
Aqui, Pc, Tc e vc são as variáveis críticas de pressão, temperatura e volume, respectivamente. Essas constantes são específicas para cada substância e geralmente são obtidas a partir de equações de estado ou experimentos. No Problema 4.22, provavelmente já determinamos essas constantes para a Equação de Berthelot.

Passo 3

Vamos relembrar as expressões das variáveis críticas para a Equação de Berthelot. Normalmente, elas são dadas por:
vc = 3b
Tc = 8a27Rb
Pc = a27b^2
Essas expressões relacionam os parâmetros a e b da Equação de Berthelot com as variáveis críticas, usando também a constante dos gases R.

Passo 4

Agora, vamos substituir as variáveis P, T e v da equação original pelas suas formas reduzidas. A Equação de Berthelot é:
P = R Tv - b - aT v^2
Vamos dividir ambos os lados da equação por Pc para obter a pressão reduzida Pr:
PPc = R TPc (v - b) - aPc T v^2
Ou seja:
Pr = R TPc (v - b) - aPc T v^2

Passo 5

Agora, vamos expressar T e v em termos das variáveis reduzidas Tr e vr. Sabemos que:
T = Tr Tc
v = vr vc
Substituindo essas expressões na equação, temos:
Pr = R (Tr Tc)Pc (vr vc - b) - aPc (Tr Tc) (vr vc)^2

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão usando as relações das variáveis críticas que já temos. Substituindo vc = 3b, Tc = 8a27Rb e Pc = a27b^2, a equação fica:
Pr = R Tr ( 8a27Rb ) ( a27b^2 ) (vr (3b) - b) - a ( a27b^2 ) Tr ( 8a27Rb ) (vr (3b))^2

Passo 7

Simplificando cada termo:
Para o primeiro termo:
R Tr ( 8a27Rb ) ( a27b^2 ) (3b vr - b) = R Tr cdot 8a27Rb a27b^2 cdot b(3vr - 1) = 8 Tr27 cdot 27b^2a cdot 13vr - 1 = 8 Tr b^2a (3vr - 1)
Para o segundo termo:
a ( a27b^2 ) Tr ( 8a27Rb ) (9b^2 vr^2) = a a27b^2 cdot Tr cdot 8a27Rb cdot 9b^2 vr^2 = a 8a^227^2 R b cdot 9b^2 vr^2 Tr = 27^2 R b cdot a8a^2 cdot 9b^2 vr^2 Tr = 27 R8a b vr^2 Tr

Passo 8

Agora, juntando os dois termos simplificados, a expressão para Pr fica:
Pr = 8 Tr b^2a (3vr - 1) - 27 R8a b vr^2 Tr

Resposta

A expressão da pressão reduzida em termos de Tr e vr é:
Pr = 8 Tr b^2a (3vr - 1) - 27 R8a b vr^2 Tr

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