Considere a equação de estado de Berthelot:
Use os resultados do Problema 4.22 para escrever as expressões obtidas na parte (a) em termos da pressão, da temperatura e do volume reduzidos.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a Equação de Estado de Berthelot, que relaciona pressão (
), temperatura (
), e volume específico (
). O enunciado quer que a gente use resultados de outro problema (o Problema 4.22) para reescrever essa equação em termos das variáveis reduzidas: pressão reduzida (
), temperatura reduzida (
) e volume reduzido (
). Para isso, vamos precisar entender o que são essas variáveis reduzidas e como elas se relacionam com a equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são variáveis reduzidas. Elas são formas normalizadas das variáveis termodinâmicas, que facilitam a comparação entre diferentes substâncias. As fórmulas para elas são:
Aqui,
,
e
são as variáveis críticas de pressão, temperatura e volume, respectivamente. Essas constantes são específicas para cada substância e geralmente são obtidas a partir de equações de estado ou experimentos. No Problema 4.22, provavelmente já determinamos essas constantes para a Equação de Berthelot.
Passo 3
Vamos relembrar as expressões das variáveis críticas para a Equação de Berthelot. Normalmente, elas são dadas por:
Essas expressões relacionam os parâmetros
e
da Equação de Berthelot com as variáveis críticas, usando também a constante dos gases
.
Passo 4
Agora, vamos substituir as variáveis
,
e
da equação original pelas suas formas reduzidas. A Equação de Berthelot é:
Vamos dividir ambos os lados da equação por
para obter a pressão reduzida
:
Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos expressar
e
em termos das variáveis reduzidas
e
. Sabemos que:
Substituindo essas expressões na equação, temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão usando as relações das variáveis críticas que já temos. Substituindo
,
e
, a equação fica:
Passo 7
Simplificando cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Passo 8
Agora, juntando os dois termos simplificados, a expressão para
fica:
Resposta
A expressão da pressão reduzida em termos de
e
é: