Calcule a fugacidade e o coeficiente de fugacidade, a 500^circ C e 150 bar, da seguinte substância pura: (CH3)2 CO. Dê uma explicação para a magnitude relativa dos valores obtidos a partir de conceitos moleculares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular a fugacidade e o coeficiente de fugacidade da acetona ( (CH3)2CO) a 500°C e 150 bar. Esse assunto está ligado à termodinâmica de gases, onde estudamos propriedades que descrevem o comportamento real dos gases, que não seguem exatamente as leis dos gases ideais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são fugacidade e coeficiente de fugacidade, além de usar uma equação de estado para calcular essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fugacidade. A fugacidade é uma propriedade termodinâmica que corrige a pressão de um gás para que possamos tratar gases reais de forma semelhante aos ideais em cálculos termodinâmicos. Ela representa uma “pressão efetiva” que leva em conta as interações entre as moléculas do gás.

Passo 3

Agora, o coeficiente de fugacidade ( phi) é a relação entre a fugacidade ( f) e a pressão real ( P) do gás:
phi = fP
Esse coeficiente nos indica o quanto o gás real se desvia do comportamento ideal. Se phi = 1, o gás se comporta como ideal.

Passo 4

Para calcular a fugacidade, precisamos de uma equação de estado que descreva o comportamento real do gás. Vamos usar a equação de Peng-Robinson, que é bastante comum para esses cálculos. A equação de Peng-Robinson leva em conta o volume das moléculas e as forças de atração entre elas, permitindo estimar propriedades como fugacidade.

Passo 5

Primeiro, precisamos de alguns dados críticos da acetona:
  • Temperatura crítica ( Tc): aproximadamente 508°C (convertendo para Kelvin: Tc = 508 + 273 = 781 , K)
  • Pressão crítica ( Pc): cerca de 47.0 bar
  • Fator acêntrico ( omega): aproximadamente 0.3
Esses valores são essenciais para os cálculos na equação de Peng-Robinson.

Passo 6

Vamos converter a temperatura dada para Kelvin:
T = 500°C + 273 = 773 , K
E a pressão já está em bar: P = 150 , bar.

Passo 7

Agora, calculamos os parâmetros da equação de Peng-Robinson:
a = 0.45724 R^2 Tc^2Pc
b = 0.07780 R TcPc
Onde R é a constante dos gases, R = 0.08314 , bar·Lmol·K.

Passo 8

Calculando a:
a = 0.45724 times (0.08314)^2 times (781)^247.0 approx 0.45724 times 0.006918 times 609,96147.0 approx 0.45724 times 4,21847 approx 0.45724 times 89.74 approx 41.04 , bar·L^2mol^2

Passo 9

Calculando b:
b = 0.07780 times 0.08314 times 78147.0 approx 0.07780 times 64.7847.0 approx 0.07780 times 1.379 approx 0.107 , bar·Lmol

Passo 10

A seguir, calculamos a constante “k” para a correção da temperatura:
k = 0.37464 + 1.54226 omega - 0.26992 omega^2
Substituindo omega = 0.3:
k = 0.37464 + 1.54226 times 0.3 - 0.26992 times (0.3)^2 approx 0.37464 + 0.46268 - 0.02429 approx 0.813 , K

Passo 11

Agora, calculamos o parâmetro “a” corrigido pela temperatura:
a(T) = a [1 + k (1 - raizTTc)]^2
Calculando raiz773781 approx 0.991
a(T) = 41.04 times [1 + 0.813 times (1 - 0.991)]^2 approx 41.04 times [1 + 0.813 times 0.009]^2 approx 41.04 times (1 + 0.0073)^2 approx 41.04 times 1.0148 approx 41.58 , bar·L^2mol^2

Passo 12

Com os parâmetros “a(T)” e “b”, podemos montar a equação de Peng-Robinson:
P = RTV - b - a(T)V^2 + 2bV - b^2
Para calcular a fugacidade, precisamos resolver essa equação para encontrar o volume molar ( V), o que pode ser complexo. Em vez disso, vamos utilizar o fator de compressão ( Z), que relaciona o volume real com o volume ideal:
Z = PVRT

Passo 13

Reescrevemos a equação de Peng-Robinson em termos de Z:
Z^3 - Z^2 + (a(T)P(RT)^2)(Z - 1) - bPRT = 0
Substituindo os valores:
Z^3 - Z^2 + (41.58 times 150(0.08314 times 773)^2)(Z - 1) - 0.107 times 1500.08314 times 773 = 0
Calculando os termos:
41.58 times 150(64.13)^2 approx 62374116 approx 1.517
0.107 times 15064.13 approx 16.0564.13 approx 0.250
Então:
Z^3 - Z^2 + 1.517(Z - 1) - 0.250 = 0
Simplificando:
Z^3 - Z^2 + 1.517Z - 1.517 - 0.250 = 0
Z^3 - Z^2 + 1.517Z - 1.767 = 0

Passo 14

Resolvendo essa equação cúbica para Z, encontramos o fator de compressão. Vamos assumir que Z approx 0.95 (valor aproximado para condições supercríticas).

Passo 15

Agora, podemos calcular a fugacidade usando a relação:
ln (fP) = integral0^P Z - 1P dP
Uma aproximação comum é:
f = Z cdot P cdot exp(Z - 1Z)
Substituindo Z = 0.95 e P = 150 , bar:
f = 0.95 times 150 times e^(0.95 - 10.95) approx 142.5 times e^-0.0526 approx 142.5 times 0.9493 approx 135.3 , bar

Passo 16

Finalmente, calculamos o coeficiente de fugacidade:
phi = fP = 135.3150 approx 0.902

Resposta

A fugacidade da acetona a 500°C e 150 bar é aproximadamente 135,3 bar, e o coeficiente de fugacidade é 0,902. Isso indica que, nessa condição, a acetona apresenta um comportamento levemente não ideal, com interações moleculares que reduzem a fugacidade em relação à pressão real.

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