Considere uma esfera de raio r=4, com centro em (0,0,3). Seja S_{1} a porção da superfície esférica que está situada acima do plano x y. Encontre \int_{S_{1}}(\nabla \times \mathbf{H}) \cdot d \mathbf{S} se
\mathbf{H}=3 \rho \mathbf{a}_{\varphi} em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de raio 4 com centro em (0,0,3). A superfície S_{1} é a parte dessa esfera acima do plano xy (isto é, z\ge0). Preciso calcular
\iint_{S_{1}}(\nabla\times \mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}
sendo \mathbf{H}=3\,\rho\,\mathbf{a}_{\varphi} em coordenadas cilíndricas. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes e parametrização de curva em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes vale
\iint_{S_{1}}(\nabla\times \mathbf{H})\cdot d\mathbf{S} =\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell},
onde C é a fronteira de S_{1}.

Passo 3

A fronteira C é a interseção da esfera \;x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=16\; com o plano z=0. Substituindo z=0 obtém-se
x^{2}+y^{2}=7,
logo C é o círculo de raio \sqrt{7} em z=0.

Passo 4

Parametrizamos C em coordenadas cilíndricas por
\rho=\sqrt{7},\quad z=0,\quad \varphi\in[0,2\pi],
e o vetor diferencial ao longo de C é
d\boldsymbol{\ell}=\rho\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi} =\sqrt{7}\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}.

Passo 5

Ao longo de C temos \mathbf{H}=3\,\rho\,\mathbf{a}_{\varphi}=3\sqrt{7}\,\mathbf{a}_{\varphi}. Portanto
\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} =3\rho\;\mathbf{a}_{\varphi}\cdot(\rho\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}) =3\,\rho^{2}\,d\varphi =3\cdot7\,d\varphi =21\,d\varphi.

Passo 6

Integramos em \varphi de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} =\int_{0}^{2\pi}21\,d\varphi =42\pi.

Resposta

\iint_{S_{1}}(\nabla\times \mathbf{H})\cdot d\mathbf{S} =42\pi.

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