Considere uma estrela que, num dado intervalo de tempo, emite uma quantidade de energia E. A energia por unidade de tempo e por unidade de área que incide sobre um determinado ponto do espaço proveniente da estrela (na forma de radiação eletromagnética) é definida como a irradiância. Logo, a irradiância ( I_{s} ) é medida em Watts por metro quadrado, ou seja, em W.m-2. O Sol emite, a cada segundo, uma quantidade de energia, na forma de radiação eletromagnética, equivalente a 3.846 \times 10^{26} J. Sabendo que a Terra localiza- se, em média, a aproximadamente 149.597 .870 km de distância do Sol, encontre a irradiância solar para um ponto sobre a órbita média da Terra.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: o Sol emite, a cada segundo, uma energia equivalente a \,3,846\times10^{26}\,\text{J}. Como isso é energia por segundo, trata-se de uma potência. Vou chamar essa potência de P.
  • Dado: a distância média entre a Terra e o Sol é de 149{,}597{,}870\\ \text{km}.
  • Pedido: encontrar a irradiância solar I_{s} para um ponto sobre a órbita média da Terra (ou seja, a potência por unidade de área que chega nesse ponto).
    Resumo das informações relevantes:
  • P = 3,846\times10^{26}\\ \text{W} (usei J/s = W),
  • distância r = 149{,}597{,}870\\ \text{km},
  • procurar I_{s} em \text{W}\,\text{m}^{-2}.

Passo 2

Entender o conceito e a fórmula que vamos usar (aula rápida e clara).
  • Irradiância: é a potência que incide por unidade de área, medida em \text{W}\,\text{m}^{-2}.
  • Como o Sol emite radiação aproximadamente isotropicamente, essa potência P se distribui uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio r (a distância ao ponto considerado). A área dessa superfície é \,4\pi r^{2}.
  • Portanto a fórmula que relaciona potência e irradiância é
I_{s}=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • I_{s}: irradiância no ponto (o que queremos),
    • P: potência total emitida pelo Sol (em W),
    • r: distância do Sol ao ponto considerado (em m),
    • \pi: constante geométrica \approx3{,}14159265.

Passo 3

Converter as unidades para o SI (métrica) antes de calcular.
  • A distância foi dada em quilômetros. Converter para metros multiplicando por 1000.
r = 149{,}597{,}870\\ \text{km} = 149{,}597{,}870\times10^{3}\\ \text{m} = 1{,}49597870\times10^{11}\\ \text{m}.
  • A potência já está em unidades compatíveis: P = 3{,}846\times10^{26}\\ \text{W}.

Passo 4

Calcular r^{2} com cuidado e mostrar o raciocínio.
r^{2}=\bigl(1{,}49597870\times10^{11}\bigr)^{2}=\bigl(1{,}49597870\bigr)^{2}\times10^{22}.
Agora calcular \bigl(1{,}49597870\bigr)^{2}. Uma maneira prática é usar uma expansão aproximada: 1{,}49597870\approx1{,}5-0{,}00402130, então
(1{,}5-0{,}00402130)^{2}=1{,}5^{2}-2\cdot1{,}5\cdot0{,}00402130+0{,}00402130^{2}\approx2{,}25-0{,}0120639+0{,}000000016\approx2{,}2379523.
Logo
r^{2}\approx2{,}2379523\times10^{22}\\ \text{m}^{2}.

Passo 5

Calcular a área da esfera 4\pi r^{2}.
4\pi r^{2}=4\pi\cdot\bigl(2{,}2379523\times10^{22}\bigr) = \bigl(4\pi\cdot2{,}2379523\bigr)\times10^{22}.
Usando 4\pi\approx12{,}566370614,
4\pi r^{2}\approx 12{,}566370614\times2{,}2379523\times10^{22}\approx28{,}1257\times10^{22}=2{,}81257\times10^{23}\\ \text{m}^{2}.

Passo 6

Aplicar a fórmula e calcular a irradiância numérica, passo a passo.
I_{s}=\frac{P}{4\pi r^{2}}=\frac{3{,}846\times10^{26}}{2{,}81257\times10^{23}}.
Dividindo os coeficientes e ajustando a potência de dez:
I_{s}\approx\frac{3{,}846}{2{,}81257}\times10^{26-23}=\frac{3{,}846}{2{,}81257}\times10^{3}.
Calcule a razão:
\frac{3{,}846}{2{,}81257}\approx1{,}3676,
portanto
I_{s}\approx1{,}3676\times10^{3}\\ \text{W}\,\text{m}^{-2}=1{,}368\times10^{3}\\ \text{W}\,\text{m}^{-2}.
Interpretação rápida: isso significa que, em média, cada metro quadrado perpendicular aos raios solares na órbita média da Terra recebe cerca de 1{,}37\times10^{3}\\ \text{W}.

Passo 7

Comentário final e motivação (rápido e encorajador).
  • Esse valor é justamente o que costumamos chamar de “constante solar” (valor típico na literatura depende da potência solar adotada; aqui, com P=3{,}846\times10^{26}\\ \text{W}, obtivemos \approx1{,}368\times10^{3}\\ \text{W}\,\text{m}^{-2}).
  • Bom trabalho: agora sabes por que usamos a área de uma esfera e como converter unidades — é a receita que sempre aparece em provas parecidas. Vai dar certo!

Resposta

I_{s}\approx1{,}368\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}

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