A lei de Wien (ou lei do deslocamento de Wien) nos diz que o comprimento de onda em que se situa a máxima emissão de radiação eletromagnética de corpo negro é inversamente proporcional à temperatura
absoluta (isto é, em K):
=\mathrm{b} / \mathrm{T} sendo b=0,0028976 m.K. Use a Lei de Wien para encontrar a faixa do espectro de máxima irradiância para o Sol (temperatura efetiva de T=5780 \mathrm{~K} ), Rigel ( T=12100 \mathrm{~K} ) e Betelgeuse ( T=3300 K).

Passo 1

O enunciado dá a Lei de Wien e pede para usar essa lei para encontrar a faixa do espectro de máxima irradiância (comprimento de onda de pico) para três estrelas, com as temperaturas efetivas fornecidas. Informações dadas:
  • Lei de Wien: \lambda_{\max} = \dfrac{b}{T} com constante b=0,0028976\\ \mathrm{m\cdot K}.
  • Temperaturas:
    • Sol: T_{\odot}=5780\\ \mathrm{K}.
    • Rigel: T_{\rm Rigel}=12100\\ \mathrm{K}.
    • Betelgeuse: T_{\rm Betelgeuse}=3300\\ \mathrm{K}.
O que é pedido: calcular \lambda_{\max} para cada uma das três estrelas e indicar em que faixa do espectro isso cai (por exemplo: ultravioleta, visível, infravermelho).

Passo 2

Explicando a fórmula e as unidades (passo-a-passo didático).
  • A Lei de Wien em forma prática é
\lambda_{\max}=\dfrac{b}{T},
onde:
  • \lambda_{\max} é o comprimento de onda (em metros) no qual a emissão de um corpo negro é máxima;
  • b é a constante de deslocamento de Wien, com valor b=0,0028976\\ \mathrm{m\cdot K};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
  • Observação de unidades: como b está em \mathrm{m\cdot K} e T em \mathrm{K}, o quociente b/T dá diretamente \lambda_{\max} em metros.
  • Para um resultado mais intuitivo em óptica, é comum converter metros para nanômetros usando
1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm},
portanto para converter de metros para nanômetros basta multiplicar por 10^{9}.

Passo 3

Estratégia de cálculo (como fazer «na prova»).
  • Vou aplicar diretamente \lambda_{\max}=b/T para cada estrela.
  • Para evitar contas com muitas casas decimais, é prático escrever b em notação científica:
b=0,0028976\\ \mathrm{m\cdot K}=2,8976\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
  • Depois de obter \lambda_{\max} em metros, converto para nanômetros por
\lambda_{\max}(\mathrm{nm})=\lambda_{\max}(\mathrm{m})\times10^{9}.
  • Vou fazer cada cálculo mostrando a divisão em notação científica para ficar claro.

Passo 4

Cálculo para o Sol ( T_{\odot}=5780\\ \mathrm{K}).
  • Aplicando a fórmula:
\lambda_{\max,\odot}=\dfrac{2,8976\times10^{-3}}{5780}\\ \mathrm{m}.
  • Efetuando a divisão (organizando em notação científica):
\lambda_{\max,\odot}=5,0114\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para nanômetros:
\lambda_{\max,\odot}=5,0114\times10^{-7}\times10^{9}=501,14\\ \mathrm{nm}.
  • Arredondamento prático para a prova: \lambda_{\max,\odot}\approx501\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Cálculo para Rigel ( T_{\rm Rigel}=12100\\ \mathrm{K}).
  • Aplicando a fórmula:
\lambda_{\max,{\rm Rigel}}=\dfrac{2,8976\times10^{-3}}{12100}\\ \mathrm{m}.
  • Dividindo:
\lambda_{\max,{\rm Rigel}}=2,3940\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para nanômetros:
\lambda_{\max,{\rm Rigel}}=2,3940\times10^{-7}\times10^{9}=239,40\\ \mathrm{nm}.
  • Arredondamento prático: \lambda_{\max,{\rm Rigel}}\approx239\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Cálculo para Betelgeuse ( T_{\rm Betelgeuse}=3300\\ \mathrm{K}).
  • Aplicando a fórmula:
\lambda_{\max,{\rm Betelgeuse}}=\dfrac{2,8976\times10^{-3}}{3300}\\ \mathrm{m}.
  • Dividindo:
\lambda_{\max,{\rm Betelgeuse}}=8,7830\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para nanômetros:
\lambda_{\max,{\rm Betelgeuse}}=8,7830\times10^{-7}\times10^{9}=878,30\\ \mathrm{nm}.
  • Arredondamento prático: \lambda_{\max,{\rm Betelgeuse}}\approx878\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Interpretação das faixas espectrais (como identificar rapidamente onde cai cada \lambda_{\max}).
  • Faixas aproximadas úteis:
    • Ultravioleta (UV): \lambda\lesssim380\\ \mathrm{nm}.
    • Visível: \sim380\text{ nm} até \sim750\text{ nm}.
    • Infravermelho (próximo IV): \lambda\gtrsim750\\ \mathrm{nm}.
  • Aplicando aos resultados:
    • Sol: \lambda_{\max}\approx501\\ \mathrm{nm} — dentro da faixa visível (região verde).
    • Rigel: \lambda_{\max}\approx239\\ \mathrm{nm} — no ultravioleta (por isso a estrela é muito “azul/extra quente”; seu pico está no UV).
    • Betelgeuse: \lambda_{\max}\approx878\\ \mathrm{nm} — no infravermelho próximo (corresponde ao tom avermelhado que vemos).
  • Comentário didático: mesmo que o Sol tenha pico em \sim501\\ \mathrm{nm} (verde), a mistura ampla de comprimentos de onda faz com que a luz solar nos pareça branca. Para estrelas muito quentes, o pico pode cair no UV; para estrelas frias, no infravermelho.

Resposta

\lambda_{\max,\odot}\approx501\\ \mathrm{nm}
\lambda_{\max,{\rm Rigel}}\approx239\\ \mathrm{nm}
\lambda_{\max,{\rm Betelgeuse}}\approx878\\ \mathrm{nm}

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