Qual seria a temperatura esperada para a superfície da Terra caso a pseudo-emissividade terrestre fosse reduzida para 0,10 ? Considere que o albedo permaneça constante.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado (vou assumir valores padrão quando o enunciado não fornece):
  • Pergunta: “Qual seria a temperatura esperada para a superfície da Terra caso a pseudo-emissividade terrestre fosse reduzida para 0,10, mantendo o albedo constante?”
  • Informação dada diretamente: pseudo-emissividade \epsilon = 0,10.
  • Informação que vou assumir (valores padrão usados em problemas deste tipo):
    • Constante solar S = 1361\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
    • Albedo médio da Terra A = 0,30.
    • Constante de Stefan–Boltzmann \sigma = 5,670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • O que vou calcular: a temperatura de equilíbrio T (em kelvin e em Celsius) que satisfaz o balanço radiativo com a emissividade dada.

Passo 2

Ideia física e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A Terra, em equilíbrio radiativo simples, recebe potência média do Sol e perde potência para o espaço por radiação térmica. Em equilíbrio, potência absorvida = potência emitida.
  • Potência solar média absorvida por unidade de área da Terra (média sobre a superfície esférica) é
F_{\text{in}} = (1-A)\,\frac{S}{4}.
Explicando cada termo:
  • (1-A) é a fração da radiação solar que é absorvida (o resto A é refletido).
  • \dfrac{S}{4} vem do fato de que a Terra intercepta a radiação em uma seção circular \pi R^2 mas a distribui por toda a superfície 4\pi R^2, portanto a média é \dfrac{S}{4}.
  • A potência emitida por unidade de área pela Terra, supondo que ela emite como um corpo com emissividade \epsilon, é dada pela lei de Stefan–Boltzmann modificada:
F_{\text{out}} = \epsilon\,\sigma\,T^4,
onde T é a temperatura efetiva de emissão (em kelvin).
  • Em equilíbrio radiativo:
(1-A)\,\frac{S}{4} = \epsilon\,\sigma\,T^4.
Vamos usar essa equação para achar T.

Passo 3

Resolver algebricamente para T:
\epsilon\,\sigma\,T^4 = (1-A)\,\frac{S}{4}
T^4 = \frac{(1-A)\,S}{4\,\epsilon\,\sigma}
T = \left(\frac{(1-A)\,S}{4\,\epsilon\,\sigma}\right)^{1/4}.
Aqui:
  • (1-A)\,S/(4) é a potência média absorvida por unidade de área.
  • Dividindo por \epsilon\,\sigma obtemos T^4, e a raiz quarta dá T.

Passo 4

Substituir os números (fazer conta passo a passo, com valores assumidos):
  • Primeiro calcule (1-A)\,S:
(1-A)\,S = (1-0,30)\times 1361 = 0,70\times 1361 = 952,7\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Dividir por 4:
\frac{(1-A)\,S}{4} = \frac{952,7}{4} = 238,175\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Dividir por \epsilon com \epsilon=0,10:
\frac{238,175}{0,10} = 2381,75\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Dividir por \sigma:
\frac{2381,75}{5,670374419\times10^{-8}} \approx 4,20012\times10^{10}.
Portanto
T^4 \approx 4,20012\times10^{10}.

Passo 5

Calcular a raiz quarta (explicando como obter sem calculadora via manipulação de potências de dez):
  • Escrever T^4 em forma mantissa × 10^{\text{expoente}}:
T^4 \approx 4,20012\times10^{10}.
  • A raiz quarta separa a mantissa e o expoente: a raiz quarta de 10^{10} é 10^{10/4}=10^{2,5}. A raiz quarta da mantissa 4,20012 é aproximadamente 4,20012^{1/4}.
  • Podemos calcular aproximadamente 4,20012^{1/4} lembrando que 4{,}0^{1/4}=4^{0,25}\approx 1{,}4142 (porque 1{,}4142^4\approx4) e 4{,}96^{1/4}= \sqrt{\sqrt{4{,}96}}\approx1{,}5. Para nossa mantissa 4,20012 a raiz quarta fica perto de 1{,}425.
  • Agora combine com 10^{2,5}: 10^{2,5}=10^{2}\cdot10^{0,5}=100\cdot\sqrt{10}\approx100\cdot3{,}1623\approx316{,}23.
  • Multiplicando a mantissa aproximada pela parte em potência de dez:
T \approx 1{,}425 \times 316{,}23 \approx 450{,}6\\ \mathrm{K}.
  • Fazendo a conta com mais precisão (usando a manipulação logarítmica ou calculadora para maior exatidão) obtém-se
T \approx 452{,}7\\ \mathrm{K}.
  • Converter para Celsius:
T_{\mathrm{C}} = T - 273{,}15 \approx 452{,}7 - 273{,}15 \approx 179{,}6\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação curta e encorajamento:
  • Resultado: com emissividade tão baixa ( \epsilon = 0,10) e mantendo o albedo, a temperatura de equilíbrio calculada sobe para valores muito altos, cerca de 452{,}7\\ \mathrm{K} (aprox. 180^\circ\mathrm{C}). Isso mostra que reduzir muito a emissividade (ou seja, reduzir fortemente a capacidade da Terra de emitir radiação térmica para o espaço) leva a um aquecimento enorme.
  • Não desanime: a mecânica do cálculo é sempre a mesma — equilibrar entrada e saída de energia e aplicar a lei de Stefan–Boltzmann. Treine esse passo a passo que fica fácil na prova.

Resposta

T \approx 452{,}7\\ \mathrm{K} \approx 179{,}6^\circ\mathrm{C}

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