Considere a expansão adiabática reversível de um gás perfeito de um estado 1 para um estado 2 . Mostre que a variação de entalpia De pode ser calculada pela integral De.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre a expansão adiabática reversível de um gás perfeito, passando de um estado 1 para um estado 2. O objetivo é mostrar que a mudança na entalpia, que é ΔH = H₂ - H₁, pode ser calculada usando a integral ∫₁² V dP. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre termodinâmica, especialmente as relações que envolvem entalpia, trabalho e propriedades dos gases perfeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é entalpia (H). Entalpia é uma função de estado que representa a quantidade total de energia de um sistema, incluindo a energia interna e a energia associada ao trabalho de pressão e volume. A variação de entalpia, ΔH, é dada por:
De

Passo 3

Agora, sabemos que para processos a pressão constante, a variação de entalpia é igual ao calor transferido. Mas no nosso caso, a expansão é adiabática e reversível, ou seja, não há transferência de calor (Q = 0). Porém, mesmo assim, vamos relacionar ΔH com outras variáveis termodinâmicas.

Passo 4

Para isso, vamos usar a primeira lei da termodinâmica, que é:
De
Como o processo é adiabático, Q = 0, então:
De
Onde W é o trabalho realizado pelo sistema.

Passo 5

O trabalho realizado em um processo reversível é dado por:
W = integral1^2 P dV
Mas queremos relacionar ΔH com uma integral que envolve V e dP. Então, precisamos transformar essa expressão.

Passo 6

Sabemos que para um gás perfeito, a entalpia é função de temperatura, e a variação de entalpia pode ser expressa como:
De
Como PV = nRT para um gás perfeito, e em um processo adiabático, a temperatura varia, então precisamos expressar ΔH de forma diferente.

Passo 7

Usando a definição de entalpia em termos de P e V, temos:
H = U + PV
Portanto, a variação de entalpia é:
De

Passo 8

Agora, substituímos ΔU pela expressão da primeira lei:
De
E substituindo W pela integral do trabalho:
De

Passo 9

Para simplificar, vamos usar a regra do produto para a variação de (PV):
De
Então,
De

Passo 10

Rearranjando os termos, temos:
De
Isso ocorre porque a integral de V dP surge naturalmente ao rearranjar os termos envolvendo P e V no processo adiabático reversível.

Resposta

Portanto, a variação de entalpia é dada por:
De

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