Considere a expansão adiabática reversível de um gás perfeito de um estado 1 para um estado 2 . Mostre que a variação de entalpia
pode ser calculada pela integral
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre a expansão adiabática reversível de um gás perfeito, passando de um estado 1 para um estado 2. O objetivo é mostrar que a mudança na entalpia, que é ΔH = H₂ - H₁, pode ser calculada usando a integral ∫₁² V dP. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre termodinâmica, especialmente as relações que envolvem entalpia, trabalho e propriedades dos gases perfeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é entalpia (H). Entalpia é uma função de estado que representa a quantidade total de energia de um sistema, incluindo a energia interna e a energia associada ao trabalho de pressão e volume. A variação de entalpia, ΔH, é dada por:
Passo 3
Agora, sabemos que para processos a pressão constante, a variação de entalpia é igual ao calor transferido. Mas no nosso caso, a expansão é adiabática e reversível, ou seja, não há transferência de calor (Q = 0). Porém, mesmo assim, vamos relacionar ΔH com outras variáveis termodinâmicas.
Passo 4
Para isso, vamos usar a primeira lei da termodinâmica, que é:
Como o processo é adiabático, Q = 0, então:
Onde W é o trabalho realizado pelo sistema.
Passo 5
O trabalho realizado em um processo reversível é dado por:
Mas queremos relacionar ΔH com uma integral que envolve V e dP. Então, precisamos transformar essa expressão.
Passo 6
Sabemos que para um gás perfeito, a entalpia é função de temperatura, e a variação de entalpia pode ser expressa como:
Como PV = nRT para um gás perfeito, e em um processo adiabático, a temperatura varia, então precisamos expressar ΔH de forma diferente.
Passo 7
Usando a definição de entalpia em termos de P e V, temos:
Portanto, a variação de entalpia é:
Passo 8
Agora, substituímos ΔU pela expressão da primeira lei:
E substituindo W pela integral do trabalho:
Passo 9
Para simplificar, vamos usar a regra do produto para a variação de (PV):
Então,
Passo 10
Rearranjando os termos, temos:
Isso ocorre porque a integral de V dP surge naturalmente ao rearranjar os termos envolvendo P e V no processo adiabático reversível.
Resposta
Portanto, a variação de entalpia é dada por: