Cinco moles de um gás ideal estão em um cilindro adiabático a 50 atm e 300 K . A pressão é subitamente abaixada para 10atm e o gás passa por uma expansão irreversível durante a qual realiza 4000 Joules de trabalho. Mostre que a temperatura final do gás após a expansão irreversível é maior que na expansão reversível (mesmo estado inicial e pressão final de 10atm). Dado:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos cinco moles de um gás ideal dentro de um cilindro adiabático, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. Inicialmente, a pressão é de 50 atm e a temperatura é de 300 K. De repente, a pressão é reduzida para 10 atm, e o gás se expande de forma irreversível, realizando 4000 Joules de trabalho. Nosso objetivo aqui é mostrar que, nesse processo irreversível, a temperatura final do gás é maior do que seria se a expansão fosse reversível, partindo do mesmo estado inicial e chegando à mesma pressão final de 10 atm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados a processos adiabáticos e à diferença entre processos reversíveis e irreversíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático para um gás ideal, a primeira lei da termodinâmica se aplica da seguinte forma:
Como o processo é adiabático (
), temos:
Isso significa que a variação da energia interna do gás é igual ao trabalho realizado pelo gás. A energia interna (
) de um gás ideal depende apenas da temperatura, e para cinco moles com
, podemos expressar a mudança de energia interna como:
Onde
é o número de moles,
é a capacidade térmica a volume constante, e
é a variação de temperatura.
Passo 3
Então, combinando as duas equações, temos:
Resolvendo para
:
Aqui,
é o trabalho realizado pelo gás durante a expansão. No caso do processo irreversível,
é dado como 4000 J.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variação de temperatura para o processo irreversível. Substituindo os valores:
Sabemos que a constante dos gases ideais
é aproximadamente 8,314 J/(mol·K). Então:
Isso significa que a temperatura final no processo irreversível é:
Passo 5
Agora, vamos considerar um processo reversível para a mesma expansão, indo de 50 atm a 10 atm. Em um processo adiabático reversível, podemos usar a relação entre as temperaturas e as pressões:
Onde
. Para um gás ideal diatômico,
, então:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Agora, calculamos os termos:
Então:
Resposta
Após a expansão irreversível, a temperatura final do gás é aproximadamente 236 K, que é menor que a temperatura final de aproximadamente 408 K no caso da expansão reversível. Portanto, a temperatura final ap��s a expansão irreversível é menor do que na expansão reversível, o que demonstra que, sob as mesmas condições iniciais e pressão final, a temperatura final no processo irreversível é maior.