Considere uma fonte de 12 V de resistência interna 75 \Omega.
a) Que valor de R_{L} deve ser ligado para que haja máxima transferência de potência?
b) Que corrente fluirá nessa condição (item a)?
c) Considerando o R_{L} encontrado no item “a”, calcule a potência dissipada por \frac{R_{L}}{2}, R_{L} e 2 . R_{L} ?

Passo 1

O enunciado dá uma fonte de tensão de 12\\ \text{V} com resistência interna de 75\\ \Omega e faz três perguntas:
  • (a) Qual o valor de R_{L} que deve ser ligado para haver máxima transferência de potência?
  • (b) Qual a corrente que fluirá nessa condição do item (a)?
  • (c) Usando o R_{L} encontrado no item (a), calcular a potência dissipada por \dfrac{R_{L}}{2}, por R_{L} e por 2\cdot R_{L}.
Informações relevantes dadas:
\text{Tensão da fonte:}\quad V_s = 12\\ \text{V}ã
\text{Resistência interna:}\quad R_{\text{int}} = 75\\ \Omegaê
Vou chamar R_{\text{int}} também de R_{\text{th}} (resistência de Thevenin) quando precisar usar a fórmula padrão.

Passo 2

Entender o que significa “máxima transferência de potência” e qual expressão usar.
Quando temos uma fonte de tensão com resistência interna R_{\text{th}} e uma carga R_L ligada a ela, a potência dissipada na carga é dada pela regra básica da divisão de tensão e pela lei de Ohm. A expressão prática e muito usada é:
P(R_L)=\frac{V_{\text{th}}^{2}\,R_L}{\left(R_{\text{th}}+R_L\right)^{2}},
onde
  • V_{\text{th}} é a tensão da fonte vista pelo circuito (aqui V_{\text{th}}=V_s),
  • R_{\text{th}} é a resistência interna (aqui 75\\ \Omega),
  • R_L é a resistência de carga.
Essa fórmula vem de: I=\dfrac{V_{\text{th}}}{R_{\text{th}}+R_L} e P=I^{2}R_L. Vou usá‑la para encontrar o R_L que maximiza P(R_L).

Passo 3

Achar o R_L que maximiza P(R_L) por derivação (método padrão em prova).
Começando da expressão:
P(R_L)=\frac{V_{\text{th}}^{2}\,R_L}{\left(R_{\text{th}}+R_L\right)^{2}}.
Para maximizar, derivamos em relação a R_L e igualamos a zero:
Calculemos a derivada. É uma função quociente; aplicamos a regra do quociente ou simplificamos pensando em V_{\text{th}}^{2} como constante:
\frac{dP}{dR_L}=V_{\text{th}}^{2}\cdot\frac{(R_{\text{th}}+R_L)^{2}\cdot 1 - R_L\cdot 2(R_{\text{th}}+R_L)\cdot 1}{(R_{\text{th}}+R_L)^{4}}.
Simplificando o numerador:
\text{num}=(R_{\text{th}}+R_L)^{2}-2R_L(R_{\text{th}}+R_L)=(R_{\text{th}}+R_L)\big[(R_{\text{th}}+R_L)-2R_L\big]
=(R_{\text{th}}+R_L)(R_{\text{th}}-R_L).
Então
\frac{dP}{dR_L}=V_{\text{th}}^{2}\cdot\frac{(R_{\text{th}}+R_L)(R_{\text{th}}-R_L)}{(R_{\text{th}}+R_L)^{4}} =V_{\text{th}}^{2}\cdot\frac{R_{\text{th}}-R_L}{(R_{\text{th}}+R_L)^{3}}.
Igualando a zero, como V_{\text{th}}^{2}>0 e denominador não nulo, obtemos
R_{\text{th}}-R_L=0 \quad\Rightarrow\quad R_L=R_{\text{th}}.
Portanto a condição de máxima potência é R_L=R_{\text{th}}.

Passo 4

Aplicar o resultado ao dado numérico do enunciado.
Temos R_{\text{th}}=75\\ \Omega. Assim:
\boxed{R_L=75\\ \Omega}
(Isto responde o item (a).)

Passo 5

Calcular a corrente que flui nessa condição (item (b)).
A corrente na malha quando R_L=R_{\text{th}} vem da lei de Ohm:
I=\frac{V_s}{R_{\text{th}}+R_L}=\frac{12}{75+75}=\frac{12}{150}.
Efetuando a divisão:
I=\frac{12}{150}=0,08\\ \text{A}=80\\ \text{mA}.

Passo 6

Calcular a potência máxima na carga (apenas para referência e para usar depois). A fórmula direta para potência máxima quando R_L=R_{\text{th}} é
P_{\max}=\frac{V_{\text{th}}^{2}}{4R_{\text{th}}}.
Substituindo:
P_{\max}=\frac{12^{2}}{4\cdot 75}=\frac{144}{300}=\frac{12}{25}=0{,}48\\ \text{W}.
Isso confirma P quando R_L=75\\ \Omega.

Passo 7

Calcular a potência dissipada por \dfrac{R_L}{2},\,R_L e 2\cdot R_L, onde usamos R_L encontrado no item (a), ou seja R_L=75\\ \Omega.
Primeiro interpretamos os três valores:
\dfrac{R_L}{2}= \frac{75}{2}=37{,}5\\ \Omega, \quad R_L=75\\ \Omega, \quad 2\cdot R_L=150\\ \Omega.
Usamos a expressão geral
P(R)=\frac{V_s^{2}\,R}{(R_{\text{th}}+R)^{2}},
com V_s=12\\ \text{V} e R_{\text{th}}=75\\ \Omega.
a) Para R= \dfrac{R_L}{2}=37{,}5\\ \Omega:
P\!\left(37{,}5\right)=\frac{12^{2}\cdot 37{,}5}{(75+37{,}5)^{2}} =\frac{144\cdot 37{,}5}{112{,}5^{2}}.
Fazendo as contas de forma exata:
144\cdot 37{,}5=5400,\qquad 112{,}5^{2}=12656{,}25,
P\!\left(37{,}5\right)=\frac{5400}{12656{,}25}=\frac{32}{75}\\ \text{W}\approx 0{,}426666\ldots\text{W}.
b) Para R=R_L=75\\ \Omega já calculado:
P(75)=\frac{144\cdot 75}{(75+75)^{2}}=\frac{144\cdot 75}{150^{2}}=\frac{144}{4\cdot 75}=\frac{12}{25}=0{,}48\\ \text{W}.
c) Para R=2R_L=150\\ \Omega:
P(150)=\frac{144\cdot 150}{(75+150)^{2}}=\frac{21600}{225^{2}}=\frac{21600}{50625}=\frac{32}{75}\\ \text{W}\approx 0{,}426666\ldots\text{W}.
Observação didática e intuitiva: note a simetria — quando a carga é menor que R_{\text{th}} por um certo fator ou maior pelo recíproco, a potência tende a diminuir; o máximo ocorre exatamente em R_L=R_{\text{th}} e valores simétricos em torno de R_{\text{th}} (como 37{,}5 e 150) dão a mesma potência menor que o máximo.

Resposta

(a) R_{L}=75\\ \Omega
(b) I=0{,}08\\ \text{A} (ou 80\\ \text{mA})
(c) P_{R_{L}/2}=\dfrac{32}{75}\\ \text{W}\approx 0{,}426666\\ \text{W}
P_{R_{L}}=\dfrac{12}{25}\\ \text{W}=0{,}48\\ \text{W}
P_{2R_{L}}=\dfrac{32}{75}\\ \text{W}\approx 0{,}426666\\ \text{W}

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