- Considere um gás com equação de estado
, onde
é uma constante,
sua pressão e
sua densidade de energia. Esse gás está contido numa esfera de raio
, que pode variar com o tempo. Usando a
Lei e assumindo um processo adiabático, determine como varia a densidade de energia em função de
, isto é,
. Verifique se a energia total dentro da esfera é conservada para os casos
( poeira, matéria sem pressão) e
(um gás de fótons).
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos um gás com equação de estado
confinado em uma esfera de raio
. Queremos achar
em função de
assumindo processo adiabático e a 1ª Lei da Termodinâmica.
Passo 2
Aplicando a 1ª Lei para processos adiabáticos: em termodinâmica, para um sistema fechado e sem troca de calor (adiabático) vale
onde
é a energia interna e
o volume.
Passo 3
Escrevendo
e
em termos de
:
Substituindo na equação da 1ª Lei obtemos
Passo 4
Expandindo a diferencial e agrupando termos:
Logo
Passo 5
Separamos variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
o que dá
Passo 6
Como o volume da esfera é
, temos
. Logo
onde
é constante determinada pela condição inicial.
Passo 7
Verificação da energia total
:
Para
(poeira) temos
, ou seja, energia constante. Para
(gás de fótons) temos
, logo a energia não é conservada.
Resposta
A energia total
é constante só para
e decai como
quando
.