1. Considere um gás com equação de estado p=w rho, onde w é uma constante, p sua pressão e rho sua densidade de energia. Esse gás está contido numa esfera de raio a, que pode variar com o tempo. Usando a 1^a Lei e assumindo um processo adiabático, determine como varia a densidade de energia em função de a, isto é, rho=rho(a). Verifique se a energia total dentro da esfera é conservada para os casos w=0 ( poeira, matéria sem pressão) e w=1 / 3 (um gás de fótons).

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um gás com equação de estado p=wrho confinado em uma esfera de raio a(t). Queremos achar rho em função de a assumindo processo adiabático e a 1ª Lei da Termodinâmica.

Passo 2

Aplicando a 1ª Lei para processos adiabáticos: em termodinâmica, para um sistema fechado e sem troca de calor (adiabático) vale
dE + p,dV = 0
onde E é a energia interna e V o volume.

Passo 3

Escrevendo E e p em termos de rho:
E = rho V
p = w,rho
Substituindo na equação da 1ª Lei obtemos
d(rho V) + w,rho,dV = 0

Passo 4

Expandindo a diferencial e agrupando termos:
V,drho + rho,dV + w,rho,dV = 0
Logo
V,drho + (1+w),rho,dV = 0

Passo 5

Separamos variáveis para integrar:
drhorho = -(1+w),dVV
Integrando ambos os lados:
lnrho = -(1+w)ln V + C
o que dá
rho propto V^-(1+w)

Passo 6

Como o volume da esfera é V=tfrac43pi a^3, temos Vpropto a^3. Logo
rho(a) = C,a^-3(1+w),
onde C é constante determinada pela condição inicial.

Passo 7

Verificação da energia total E=rho V:
E propto a^-3(1+w)cdot a^3 = a^-3w
Para w=0 (poeira) temos Epropto a^0, ou seja, energia constante. Para w=1/3 (gás de fótons) temos Epropto a^-1, logo a energia não é conservada.

Resposta

rho(a) = C,a^-3(1+w), ou, usando um valor inicial rho(a0),
rho(a)=rho(a0)l(aa0r)^-3(1+w)
A energia total E=rho V é constante só para w=0 e decai como a^-1 quando w=1/3.

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