1. Considere que a energia interna de um gás ideal é dada por U=alpha P V, com alpha>1. Usando a 1^ a Lei, determine a equação P= P(V) de um processo adiabático, i.e., com d S=0.

Passo 1

A questão dá a energia interna de um gás ideal como U=alpha P V (com alpha>1) e pede a relação P(V) de um processo adiabático ( dS=0). Vamos usar a 1ª Lei da Termodinâmica para sistemas fechados em forma diferencial: dU + P,dV = de. Aqui, em adiabático, de.

Passo 2

Como U=alpha P V, calculamos seu diferencial:
dU = alpha,d(PV) = alpha,(P,dV + V,dP)

Passo 3

Substituímos esse dU na 1ª Lei com de:
alpha,(P,dV + V,dP) + P,dV = 0

Passo 4

Agora agrupamos os termos semelhantes em dP e dV:
alpha V,dP + l(alpha P + Pr),dV = 0 Longrightarrow alpha V,dP + (alpha+1)P,dV = 0

Passo 5

Separamos variáveis para integrar:
dPP = -alpha+1alpha,dVV

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral dPP = -alpha+1alpha integral dVV Longrightarrow ln P = -alpha+1alpha,ln V + ln C,

Passo 7

onde C é constante de integração. Elevando e aos dois lados:
P = C,V^-alpha+1alpha

Resposta

P(V)=C,V^-alpha+1alpha com C constante do processo.

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