Considere um gás ideal de N moléculas que está em equilíbrio dentro de um recipiente de volume V_{0}. Denote por n o número de moléculas localizadas dentro de um subvolume V do recipiente. A probabilidade p de que uma dada molécula esteja localizada nesse subvolume é então dada por p=V / V_{0}. Desta forma, podemos encontrar o valor médio do número de moléculas no subvolume V,\langle n\rangle, e o seu desvio padrão, \Delta n=\left\langle(n-\langle n\rangle)^{2}\right\rangle^{1 / 2}. Assinale entre as alternativas abaixo a expressão para \Delta n /\langle n\rangle que expressa o comportamento das flutuações no volume V.
(a) \Delta n /\langle n\rangle=N^{-1 / 2} \sqrt{\left(V_{0} / V\right)-1}
(b) \Delta n /\langle n\rangle=0
(c) \Delta n /\langle n\rangle=N V_{0} / V
(d) \Delta n /\langle n\rangle=\left(V / V_{0}\right)^{N}
(e) \Delta n /\langle n\rangle=1
Sugestão: lembre que \sum_{k=0}^{\ell} k\binom{\ell}{k} p^{k} q^{\ell-k}=\ell p e \sum_{k=0}^{\ell} k^{2}\binom{\ell}{k} p^{k} q^{\ell-k}=\ell p q+\ell^{2} p^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Número total de moléculas: \,N.
    • Volume total do recipiente: \,V_{0}.
    • Subvolume de interesse: \,V.
    • Probabilidade de uma molécula estar no subvolume: \,p=V/V_{0}.
    • Definição: n é o número de moléculas dentro do subvolume V (variável aleatória).
  • O enunciado pede a expressão para a razão entre o desvio padrão e a média: \frac{\Delta n}{\langle n\rangle},onde \Delta n=\sqrt{\langle(n-\langle n\rangle)^{2}\rangle}.

Passo 2

Modelagem probabilística e distribuição de n.
  • Cada molécula tem probabilidade p de estar no subvolume e q=1-p de não estar. As moléculas são indepentes entre si.
  • Portanto, a distribuição de probabilidade para n é a binomial: P(n=k)=\binom{N}{k} p^{k} q^{N-k},\qquad k=0,1,\dots,N.Aqui \binom{N}{k} é o coeficiente binomial e q=1-p.

Passo 3

Cálculo da média \langle n\rangle usando a identidade sugerida.
  • A média de n é \langle n\rangle=\sum_{k=0}^{N} k \binom{N}{k} p^{k} q^{N-k}.
  • Usando a identidade fornecida \sum_{k=0}^{\ell} k\binom{\ell}{k} p^{k} q^{\ell-k}=\ell p,com \ell=N, obtemos \langle n\rangle = N p.

Passo 4

Cálculo de \langle n^{2}\rangle e da variância \sigma_{n}^{2}=\Delta n^{2}.
  • A segunda identidade fornecida é \sum_{k=0}^{\ell} k^{2}\binom{\ell}{k} p^{k} q^{\ell-k}=\ell p q+\ell^{2} p^{2}.Aplicando com \ell=N, \langle n^{2}\rangle = N p q + N^{2} p^{2}.
  • A variância é \sigma_{n}^{2}=\langle n^{2}\rangle-\langle n\rangle^{2}=(N p q + N^{2} p^{2})-(N p)^{2}=N p q.
  • Logo o desvio padrão é \Delta n=\sqrt{N p q}.

Passo 5

Cálculo da razão \Delta n/\langle n\rangle e simplificação em termos de V e V_{0}.
  • Escrevendo a razão: \frac{\Delta n}{\langle n\rangle}=\frac{\sqrt{N p q}}{N p}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sqrt{\frac{q}{p}}.
  • Substituindo p=V/V_{0} e q=1-p=(V_{0}-V)/V_{0}, \frac{q}{p}=\frac{(V_{0}-V)/V_{0}}{V/V_{0}}=\frac{V_{0}-V}{V}= \frac{V_{0}}{V}-1.
  • Portanto \frac{\Delta n}{\langle n\rangle}=N^{-1/2}\sqrt{\frac{V_{0}}{V}-1}.

Resposta

\Delta n /\langle n\rangle=N^{-1 / 2} \sqrt{\left(V_{0} / V\right)-1}

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