Considere um gás ideal de
moléculas que está em equilíbrio dentro de um recipiente de volume
. Denote por
o número de moléculas localizadas dentro de um subvolume
do recipiente. A probabilidade
de que uma dada molécula esteja localizada nesse subvolume é então dada por
. Desta forma, podemos encontrar o valor médio do número de moléculas no subvolume
, e o seu desvio padrão,
. Assinale entre as alternativas abaixo a expressão para
que expressa o comportamento das flutuações no volume
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Sugestão: lembre que
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Número total de moléculas:
. - Volume total do recipiente:
. - Subvolume de interesse:
. - Probabilidade de uma molécula estar no subvolume:
. - Definição:
é o número de moléculas dentro do subvolume (variável aleatória).
- Número total de moléculas:
- O enunciado pede a expressão para a razão entre o desvio padrão e a média:
onde .
Passo 2
Modelagem probabilística e distribuição de
.
- Cada molécula tem probabilidade
de estar no subvolume e de não estar. As moléculas são indepentes entre si. - Portanto, a distribuição de probabilidade para
é a binomial: Aqui é o coeficiente binomial e .
Passo 3
Cálculo da média
usando a identidade sugerida.
- A média de
é - Usando a identidade fornecida
com , obtemos
Passo 4
Cálculo de
e da variância
.
- A segunda identidade fornecida é
Aplicando com , - A variância é
- Logo o desvio padrão é
Passo 5
Cálculo da razão
e simplificação em termos de
e
.
- Escrevendo a razão:
- Substituindo
e , - Portanto