Determine a constante de normalização e calcule a média, a variância e o desvio padrão para as seguintes distribuições contínuas de probabilidade:
(a) P(x)=A e^{-a x}, com a>0 e x \geq 0;

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade
P(x)=A e^{-a x},
com a>0 e domínio x\ge 0. As perguntas explícitas são:
  • Determinar a constante de normalização A.
  • Calcular a média (valor esperado) \mu.
  • Calcular a variância \mathrm{Var}(X).
  • Calcular o desvio padrão \sigma.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é definida só para x\ge 0.
  • O parâmetro a é positivo ( a>0), o que garante decaimento exponencial e integrabilidade.
  • A densidade deve satisfazer \displaystyle\int_{0}^{\infty} P(x)\,dx = 1.

Passo 2

Normalização: aplicar a condição de que a integral da densidade em todo o espaço vale 1.
\int_{0}^{\infty} P(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} A e^{-a x}\,dx = 1.
Calcular a integral no lado esquerdo. Usar a primitiva de e^{-a x}:
\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx = \left[-\frac{1}{a}e^{-a x}\right]_{0}^{\infty}.
Como a>0, temos \lim_{x\to\infty} e^{-a x}=0. Logo
\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx = 0 -\left(-\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a}.
Voltando à normalização:
A\cdot\frac{1}{a}=1 \quad\Rightarrow\quad A=a.
Portanto a densidade normalizada é P(x)=a e^{-a x} para x\ge0.

Passo 3

Definição de média (valor esperado): para uma variável contínua com densidade P(x),
\mu = \mathbb{E}[X]=\int_{0}^{\infty} x\,P(x)\,dx.
Aqui P(x)=a e^{-a x}, então
\mu = a\int_{0}^{\infty} x e^{-a x}\,dx.
Calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{\infty} x e^{-a x}\,dx por integração por partes. Escolher
u=x,\qquad dv=e^{-a x}\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\int e^{-a x}\,dx=-\frac{1}{a}e^{-a x}.
Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} x e^{-a x}\,dx = \left. -\frac{x}{a} e^{-a x}\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx.
Avaliar o termo de fronteira: \displaystyle\lim_{x\to\infty} x e^{-a x}=0 (exponencial domina polinomial) e no zero o termo é zero, portanto a fronteira total é 0-0=0. Assim
\int_{0}^{\infty} x e^{-a x}\,dx = \frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{a^{2}}.
Logo
\mu = a\cdot\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{a}.

Passo 4

Cálculo de \mathbb{E}[X^{2}]: definir
\mathbb{E}[X^{2}] = \int_{0}^{\infty} x^{2} P(x)\,dx = a\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-a x}\,dx.
Calcular \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-a x}\,dx. Pode-se usar integração por partes duas vezes ou reconhecer a forma da função gama; aqui faço por partes rápida:
Primeira integração por partes, tome
u=x^{2},\qquad dv=e^{-a x}\,dx,
então
du=2x\,dx,\qquad v=-\frac{1}{a}e^{-a x}.
Obtemos
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-a x}\,dx = \left.-\frac{x^{2}}{a}e^{-a x}\right|_{0}^{\infty} + \frac{2}{a}\int_{0}^{\infty} x e^{-a x}\,dx.
O termo de fronteira anula-se (novamente x^{2}e^{-a x}\to 0 em +\infty, e é zero em 0). Já calculamos \displaystyle\int_{0}^{\infty} x e^{-a x}\,dx=\frac{1}{a^{2}}. Portanto
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-a x}\,dx = \frac{2}{a}\cdot\frac{1}{a^{2}}=\frac{2}{a^{3}}.
Assim
\mathbb{E}[X^{2}] = a\cdot\frac{2}{a^{3}}=\frac{2}{a^{2}}.

Passo 5

Cálculo da variância: usar a fórmula
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}.
Substituir os valores encontrados:
\mathrm{Var}(X)=\frac{2}{a^{2}}-\left(\frac{1}{a}\right)^{2}=\frac{2}{a^{2}}-\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{a^{2}}.

Passo 6

Desvio padrão: definição \sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}. Logo
\sigma=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}}=\frac{1}{a},
como a>0 a raiz positiva é \sigma=1/a.
Bom trabalho até aqui — essa distribuição é a familiar distribuição exponencial; observe que média e desvio padrão coincidem e valem 1/a, e a variância é 1/a^{2}. Isso costuma facilitar checar resultados rápidos na prova.

Resposta

A=a
\mathbb{E}[X]=\dfrac{1}{a}
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1}{a^{2}}
\sigma=\dfrac{1}{a}

Exercícios relacionados