Determine a constante de normalização e calcule a média, a variância e o desvio padrão para as seguintes distribuições contínuas de probabilidade:
(a) P(x)=A e^{-a x}, com a>0 e x \geq 0;
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade
P(x)=A e^{-a x},
com a>0 e domínio x\ge 0. As perguntas explícitas são:
Determinar a constante de normalização A.
Calcular a média (valor esperado) \mu.
Calcular a variância \mathrm{Var}(X).
Calcular o desvio padrão \sigma.
Informações relevantes fornecidas:
A função é definida só para x\ge 0.
O parâmetro a é positivo (a>0), o que garante decaimento exponencial e integrabilidade.
A densidade deve satisfazer \displaystyle\int_{0}^{\infty} P(x)\,dx = 1.
Passo 2
Normalização: aplicar a condição de que a integral da densidade em todo o espaço vale 1.
\int_{0}^{\infty} P(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} A e^{-a x}\,dx = 1.
Calcular a integral no lado esquerdo. Usar a primitiva de e^{-a x}:
Avaliar o termo de fronteira: \displaystyle\lim_{x\to\infty} x e^{-a x}=0 (exponencial domina polinomial) e no zero o termo é zero, portanto a fronteira total é 0-0=0. Assim
\int_{0}^{\infty} x e^{-a x}\,dx = \frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{a^{2}}.
Calcular \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-a x}\,dx. Pode-se usar integração por partes duas vezes ou reconhecer a forma da função gama; aqui faço por partes rápida:
O termo de fronteira anula-se (novamente x^{2}e^{-a x}\to 0 em +\infty, e é zero em 0). Já calculamos \displaystyle\int_{0}^{\infty} x e^{-a x}\,dx=\frac{1}{a^{2}}. Portanto
Desvio padrão: definição \sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}. Logo
\sigma=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}}=\frac{1}{a},
como a>0 a raiz positiva é \sigma=1/a.
Bom trabalho até aqui — essa distribuição é a familiar distribuição exponencial; observe que média e desvio padrão coincidem e valem 1/a, e a variância é 1/a^{2}. Isso costuma facilitar checar resultados rápidos na prova.