Considere que em uma indústria se deseja ter o controle metrológico e do erro de um processo de fabricação de um determinado rolamento, fazendo um estudo no diâmetro externo do rolamento.
Dados: sabe que o diâmetro padrão: 10,001 mm. Foram realizadas 12 medidas. Utilize tabela t Student para 95,25% de probabilidade.
Amostra Diâmetro externo
2 10,02
3 10,34
4 10,32
5 11,00
6 10,5
7 10,45
8 10,4
9 11,1
10 10,29
11 9,59
12 9,34
Baseado nas informações calcule:
Incerteza padrão;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos lidando com Controle Metrológico em um processo de fabricação de rolamentos, mais especificamente no diâmetro externo desses rolamentos. O objetivo aqui é calcular a Incerteza Padrão das medidas realizadas. Para isso, temos um diâmetro padrão de 10,001 mm e foram feitas 12 medições com valores variados. Vamos precisar utilizar a Tabela t de Student para uma confiança de 95,25% para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é Incerteza Padrão. Basicamente, ela representa a precisão das medições realizadas. Para calcular isso, vamos seguir alguns passos:
  1. Calcular a Média das Medidas ( barx ):
    Somamos todas as medidas e dividimos pelo número total de medições.
  2. Calcular o Desvio Padrão (s):
    Isso nos dá uma ideia de quão dispersas estão as medições em relação à média.
  3. Calcular a Incerteza Padrão (u barx):
    Utilizamos a fórmula $ u_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} $, onde $ n $ é o número de medições.
  4. Aplicar o Fator t de Student:
    Para a confiança de 95,25%, precisamos encontrar o valor correspondente na tabela t de Student com $ n-1 $ graus de liberdade.
Vamos começar com o cálculo da média.

Passo 3

1. Calculando a Média das Medidas ( barx)
Primeiro, vamos somar todas as medidas:
10,02 + 10,34 + 10,32 + 11,00 + 10,5 + 10,45 + 10,4 + 11,1 + 10,29 + 9,59 + 9,34 =
Vamos somar passo a passo:
10,02 + 10,34 = 20,36
20,36 + 10,32 = 30,68
30,68 + 11,00 = 41,68
41,68 + 10,5 = 52,18
52,18 + 10,45 = 62,63
62,63 + 10,4 = 73,03
73,03 + 11,1 = 84,13
84,13 + 10,29 = 94,42
94,42 + 9,59 = 104,01
104,01 + 9,34 = 113,35
Agora, dividimos pelo número de medições, que são 11 (já que a amostra começa no 2):
barx = 113,3511 approx 10,31 mm

Passo 4

2. Calculando o Desvio Padrão (s)
O desvio padrão nos mostra como os valores estão distribuídos em relação à média. A fórmula do desvio padrão para uma amostra é:
s = raiz sum (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • $ x_i $ são as medidas individuais
  • $ \bar{x} $ é a média
  • $ n $ é o número de medições
Vamos calcular cada $ (x_i - \bar{x})^2 $:
xi
barx
n
(xi - barx)^2
(10,02 - 10,31)^2 = (-0,29)^2 = 0,0841
(10,34 - 10,31)^2 = (0,03)^2 = 0,0009
(10,32 - 10,31)^2 = (0,01)^2 = 0,0001
(11,00 - 10,31)^2 = (0,69)^2 = 0,4761
(10,5 - 10,31)^2 = (0,19)^2 = 0,0361
(10,45 - 10,31)^2 = (0,14)^2 = 0,0196
(10,4 - 10,31)^2 = (0,09)^2 = 0,0081
Agora, somamos todos esses valores:
(11,1 - 10,31)^2 = (0,79)^2 = 0,6241
Agora, dividimos pela quantidade de medições menos um ( $ n - 1 = 10 $ ):
(10,29 - 10,31)^2 = (-0,02)^2 = 0,0004

Passo 5

3. Calculando a Incerteza Padrão (u barx)
A incerteza padrão da média é calculada usando:
ubarx = sraizn
Onde:
  • $ s = 0,52 $ mm
  • $ n = 11 $
Vamos calcular:
s = 0,52

Passo 6

4. Aplicando o Fator t de Student
Para uma confiança de 95,25%, precisamos encontrar o valor crítico t na tabela de Student com $ n - 1 = 10 $ graus de liberdade.
Consultando a tabela t de Student:
Para 95,25% de confiança e 10 graus de liberdade, o valor de t é aproximadamente 2,228.
Agora, multiplicamos esse valor pelo desvio padrão da média:
n - 1 = 10

Resposta

A incerteza padrão do diâmetro externo do rolamento é aproximadamente 0,35 mm.

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