Considere um modelo no qual os níveis de energia disponíveis estão espaçados linearmente ao longo do eixo de energia:
\epsilon_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) E_{0} \quad(\mathrm{n}=0,1,2,3 \ldots, 9)
O sistema contém dez partículas. Considere dois macroestados:
Estado I \equiv\{0,0,1,2,4,2,1,0,0,0\}
Estado II \equiv\{0,1,1,2,2,2,1,1,0,0\}
1- Qual dos dois macroestados I e II tem a maior energia?

Passo 1

O enunciado define níveis de energia igualmente espaçados
\epsilon_n = \bigl(n + \tfrac12\bigr)E_0,\quad n=0,1,\dots,9
e dois macroestados com distribuições de ocupação em cada nível. Queremos comparar a energia total de cada macroestado, que é dada por
E = \sum_{n=0}^{9} N_n\,\epsilon_n,
onde N_n é o número de partículas no nível n.

Passo 2

Para o Estado I a ocupação é \{N_0,\dots,N_9\} = \{0,0,1,2,4,2,1,0,0,0\},
ou seja, só há partículas nos níveis n=2,3,4,5,6. Logo
E_{\text{I}} =1\cdot\epsilon_2 +2\cdot\epsilon_3 +4\cdot\epsilon_4 +2\cdot\epsilon_5 +1\cdot\epsilon_6.
Substituindo \epsilon_n=(n+\tfrac12)E_0:
E_{\text{I}} =1\cdot(2{+}\tfrac12)E_0 +2\cdot(3{+}\tfrac12)E_0 +4\cdot(4{+}\tfrac12)E_0 +2\cdot(5{+}\tfrac12)E_0 +1\cdot(6{+}\tfrac12)E_0 =45\,E_0.

Passo 3

Para o Estado II a ocupação é \{0,1,1,2,2,2,1,1,0,0\},
isto é, há partículas nos níveis n=1,2,3,4,5,6,7. Então
E_{\text{II}} =1\cdot\epsilon_1 +1\cdot\epsilon_2 +2\cdot\epsilon_3 +2\cdot\epsilon_4 +2\cdot\epsilon_5 +1\cdot\epsilon_6 +1\cdot\epsilon_7
e, substituindo cada \epsilon_n:
E_{\text{II}} =1\cdot(1{+}\tfrac12)E_0 +1\cdot(2{+}\tfrac12)E_0 +2\cdot(3{+}\tfrac12)E_0 +2\cdot(4{+}\tfrac12)E_0 +2\cdot(5{+}\tfrac12)E_0 +1\cdot(6{+}\tfrac12)E_0 +1\cdot(7{+}\tfrac12)E_0 =45\,E_0.

Passo 4

Comparando os resultados:
E_{\text{I}} = 45\,E_0 \quad\text{e}\quad E_{\text{II}} = 45\,E_0,
logo ambos os macroestados têm exatamente a mesma energia.

Resposta

Os dois macroestados têm a mesma energia total, 45\,E_0.

Exercícios relacionados