Considere um modelo no qual os níveis de energia disponíveis estão espaçados linearmente ao longo do eixo de energia:
\epsilon_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) E_{0} \quad(\mathrm{n}=0,1,2,3 \ldots, 9)
O sistema contém dez partículas. Considere dois macroestados:
Estado I \equiv\{0,0,1,2,4,2,1,0,0,0\}
Estado II \equiv\{0,1,1,2,2,2,1,1,0,0\}
2- Qual tem a maior entropia?

Passo 1

O enunciado apresenta níveis de energia quantizados com ocupações dadas por dois macrostados distintos, cada um com 10 partículas distribuídas nos níveis de n=0 a n=9. O conteúdo é a entropia estatística de Boltzmann, em que precisamos usar a fórmula da multiplicidade de um macroestado para compará-las.

Passo 2

Para um sistema de N partículas clássicas distinguíveis com ocupações \{n_{j}\}, a multiplicidade é
W \;=\;\frac{N!}{\prod_{j}n_{j}!}
e a entropia é S=k_{B}\ln W. Como k_{B} é constante, basta comparar W de cada macroestado.

Passo 3

Para o Estado I, as ocupações são \{0,0,1,2,4,2,1,0,0,0\}, logo
W_{I} \;=\;\frac{10!}{0!\,0!\,1!\,2!\,4!\,2!\,1!\,0!\,0!\,0!}.
Como 0!=1, 1!=1, 2!=2 e 4!=24, o denominador vale
1\cdot1\cdot1\cdot2\cdot24\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1 = 96.
Assim,
W_{I} = \frac{10!}{96} = \frac{3628800}{96} = 37800.

Passo 4

Para o Estado II, as ocupações são \{0,1,1,2,2,2,1,1,0,0\}, então
W_{II} = \frac{10!}{0!\,1!\,1!\,2!\,2!\,2!\,1!\,1!\,0!\,0!}.
O denominador é
1\cdot1\cdot1\cdot2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1 = 8,
portanto
W_{II} = \frac{10!}{8} = \frac{3628800}{8} = 453600.

Passo 5

Como W_{II}=453600 é maior que W_{I}=37800, temos
S_{II} = k_{B}\ln W_{II} \;>\; k_{B}\ln W_{I} = S_{I}.

Resposta

O Estado II tem a maior entropia.

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