Considere um modelo no qual os níveis de energia disponíveis estão espaçados linearmente ao longo do eixo de energia:
\epsilon_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) E_{0} \quad(\mathrm{n}=0,1,2,3 \ldots, 9)
O sistema contém dez partículas. Considere dois macroestados:
Estado I \equiv\{0,0,1,2,4,2,1,0,0,0\}
Estado II \equiv\{0,1,1,2,2,2,1,1,0,0\}
3- Qual tem maior probabilidade de ser observado?

Passo 1

O enunciado dá um sistema com N=10 partículas distribuídas em dez níveis de energia \epsilon_n=(n+\tfrac12)E_0. Cada macroestado é descrito pelos números de ocupação N_n. Queremos comparar a probabilidade de dois macrostados dados por
Estado I: \{N_n\}=\{0,0,1,2,4,2,1,0,0,0\}
Estado II: \{N_n\}=\{0,1,1,2,2,2,1,1,0,0\}
Para partículas clássicas indistinguíveis (estatística de Maxwell-Boltzmann), todas as microconfigurações com essas ocupações têm a mesma energia, e a probabilidade de cada macroestado é proporcional à sua multiplicidade \,W, dada por um fator combinatório.

Passo 2

A multiplicidade de um macroestado com ocupações N_n (tal que \sum_n N_n=N) é
W \;=\;\frac{N!}{\displaystyle\prod_{n=0}^{9}N_n!}\,.
Logo, basta calcular W_{\rm I} e W_{\rm II} e comparar.

Passo 3

Para o Estado I temos
\prod_{n=0}^{9}N_n! \;=\;0!\,0!\,1!\,2!\,4!\,2!\,1!\,0!\,0!\,0! \;=\;1\cdot1\cdot1\cdot2\cdot24\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1 \;=\;96.
Como 10!=3\,628\,800,
W_{\rm I} =\frac{10!}{96} =\frac{3\,628\,800}{96} =37\,800.

Passo 4

Para o Estado II temos
\prod_{n=0}^{9}N_n! =0!\,1!\,1!\,2!\,2!\,2!\,1!\,1!\,0!\,0! =1\cdot1\cdot1\cdot2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1 =8.
Assim,
W_{\rm II} =\frac{10!}{8} =\frac{3\,628\,800}{8} =453\,600.

Passo 5

Comparando as multiplicidades, vemos que
W_{\rm II}=453\,600 > W_{\rm I}=37\,800,
logo o Estado II é muito mais provável.

Resposta

O macroestado II tem maior probabilidade de ser observado.

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