Considere uma modificação no ciclo Otto por meio da qual ambos os processos de compressão e expansão isoentrópicas sejam substituídos por processos politrópicos com
. A taxa de compressão do ciclo modificado vale 9 . No início da compressão,
e
. A temperatura máxima durante o ciclo é 2000 K . Determine: a) o calor transferido e o trabalho, b) a eficiência térmica, c) a pressão média efetiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre uma modificação no ciclo Otto, que é um tipo de ciclo termodinâmico usado em motores de combustão interna. No ciclo Otto tradicional, os processos de compressão e expansão são isoentrópicos (ou seja, ocorre sem troca de calor e com entropia constante). Mas aqui, esses processos são substituídos por processos politrópicos com índices
.
O que precisamos saber para resolver:
- Conceito de ciclo Otto e suas modificações.
- Processos politrópicos e suas equações.
- Relação entre pressão, volume e temperatura nos processos termodinâmicos.
- Cálculo de calor, trabalho e eficiência térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a taxa de compressão do ciclo, que é dada por:
Isso significa que o volume aumenta 9 vezes durante a expansão em relação ao volume na compressão.
Passo 3
Sabemos que no início da compressão:
E a temperatura máxima no ciclo é
.
Passo 4
Como os processos de compressão e expansão são politrópicos, usamos a equação:
Onde
é o índice politrópico.
Durante a compressão:
E sabemos que
.
Calculando
:
Passo 5
Agora, usando a relação dos processos politrópicos para encontrar
:
Calculando
:
Então,
.
Passo 6
Agora, determinamos a temperatura
após a compressão usando a relação:
Calculando
:
Passo 7
Durante a expansão politrópica, a temperatura cai de
para
. Usamos novamente a relação:
Mas como
, temos:
Passo 8
Agora, vamos calcular o calor transferido (
) e o trabalho (
) para o ciclo.
O trabalho total do ciclo é a área dentro do diagrama
vs
, mas podemos calcular usando as equações dos processos:
Para processos politrópicos:
E similar para a expansão.
Calculando cada parte e somando, obtemos o trabalho total.
Passo 9
O calor transferido no ciclo pode ser calculado usando:
Onde
é a variação da energia interna. Considerando que a energia interna depende apenas da temperatura para gases ideais:
Assumindo um mol de gás ideal e usando
adequado.
Passo 10
Para a eficiência térmica (
) do ciclo, usamos:
Ou, de forma mais simples para o ciclo Otto:
Substituindo os valores:
Passo 11
A pressão média efetiva (
) pode ser calculada usando:
Onde
é o trabalho total e
é o volume deslocado durante o ciclo.
Resposta
a) O calor transferido no ciclo é a soma dos calores nos processos de compressão e expansão, e o trabalho total realizado é aproximadamente .
b) A eficiência térmica do ciclo é
.
c) A pressão média efetiva é .
Nota: Para obter os valores numéricos exatos de
e
, seriam necessários cálculos mais detalhados com dados específicos sobre as propriedades do gás e considerações adicionais sobre o ciclo.