Considere que um mol de gás ideal encontra-se à temperatura de 0^{\circ} \mathrm{Ce} 1 \mathrm{~atm} e sofre as seguintes transformações: (i) uma compressão isotérmica até um volume de 10 l, seguida de (ii) uma expansão adiabática até retornar ao volume inicial, atingindo uma pressão final de 0,6 \mathrm{~atm}. (a) Represente o processo num diagrama Pressão X Volume; (b) Calcule a pressão ao final da etapa (i); (c) Calcule a temperatura ao final da etapa (ii); (d) Calcule C_{P} e C_{V}; (e) Calcule a Variação total da energia interna; (f) Calcule o trabalho total realizado.
OBS: A questão acima vale 6 pontos. Cada item vale 1 ponto

Passo 1

O enunciado trata de 1 mol de gás ideal que parte do estado inicial (P_{1},V_{1},T_{1})=(1\;\mathrm{atm},V_{1},273{,}15\;\mathrm K), sofre (i) compressão isotérmica até V_{2}=10\;\mathrm L e depois (ii) expansão adiabática até V_{3}=V_{1} e P_{3}=0{,}6\;\mathrm{atm}. Para resolver precisamos usar a lei dos gases ideais, a relação isotérmica P V= constante, a relação adiabática P V^{\gamma}= constante, as definições de C_{V}, C_{P}, a variação de energia interna \Delta U=nC_{V}\Delta T e o trabalho em cada processo.

Passo 2

Primeiro encontramos o volume inicial usando a lei dos gases ideais
V_{1}=\frac{nR\,T_{1}}{P_{1}} =\frac{1\cdot8{,}314\;\mathrm{J/(mol\;K)}\cdot273{,}15\;\mathrm K}{1{,}013\times10^{5}\;\mathrm{Pa}} \approx22{,}41\;\mathrm L.
Na compressão isotérmica \displaystyle P_{2}V_{2}=P_{1}V_{1}, logo
P_{2}=P_{1}\,\frac{V_{1}}{V_{2}} =1\;\mathrm{atm}\times\frac{22{,}41}{10} \approx2{,}24\;\mathrm{atm}.

Passo 3

No diagrama P\times V marcamos o ponto inicial A=(V_{1},P_{1}), traçamos a isoterma de equação
P=\frac{P_{1}V_{1}}{V},
que vai de A até B=(10\;\mathrm L,2{,}24\;\mathrm{atm}), e a seguir desenhamos a adiabática de equação
P\,V^{\gamma}=\text{constante},
que parte de B e volta a V=V_{1} cruzando P=0{,}6\;\mathrm{atm}.

Passo 4

Da adiabática \displaystyle P_{2}V_{2}^{\gamma}=P_{3}V_{3}^{\gamma} obtemos
\gamma =\frac{\ln(P_{3}/P_{2})}{\ln(V_{2}/V_{3})} =\frac{\ln(0{,}6/2{,}24)}{\ln(10/22{,}41)} \approx1{,}63.

Passo 5

A temperatura final T_{3} sai diretamente de P_{3}V_{3}=nR\,T_{3}:
T_{3} =\frac{P_{3}V_{3}}{R} =\frac{0{,}6\;\mathrm{atm}\times22{,}41\;\mathrm L}{0{,}08206\;\mathrm{L\,atm/(mol\,K)}} \approx163{,}9\;\mathrm K.

Passo 6

Usando \gamma=C_{P}/C_{V} e C_{P}-C_{V}=R, vem
C_{V} =\frac{R}{\gamma-1} =\frac{8{,}314}{1{,}63-1} \approx13{,}14\;\mathrm{J/(mol\,K)},
C_{P} =\gamma\,C_{V} \approx1{,}63\times13{,}14 \approx21{,}46\;\mathrm{J/(mol\,K)}.

Passo 7

A variação total da energia interna é
\Delta U =n\,C_{V}\,(T_{3}-T_{1}) =1\times13{,}14\times(163{,}9-273{,}15) \approx-1\,436\;\mathrm J.

Passo 8

O trabalho realizado na isotérmica é
W_{\rm iso} =nR\,T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} =8{,}314\times273{,}15\times\ln\frac{10}{22{,}41} \approx-1\,836\;\mathrm J
e na adiabática Q=0 implica W_{\rm adia}=-\Delta U\approx+1\,436\;\mathrm J. Portanto o trabalho total
W_{\rm tot} =W_{\rm iso}+W_{\rm adia} \approx-1\,836+1\,436 \approx-400\;\mathrm J.

Resposta

(a) No diagrama P\times V desenha-se a isoterma de A=(22{,}41\;\mathrm L,1\;\mathrm{atm}) até B=(10\;\mathrm L,2{,}24\;\mathrm{atm}), seguida de uma curva adiabática de B retornando a V=22{,}41\;\mathrm L em P=0{,}6\;\mathrm{atm}.
(b) P_{2}\approx2{,}24\;\mathrm{atm}.
(c) T_{3}\approx163{,}9\;\mathrm K.
(d) C_{V}\approx13{,}14\;\mathrm{J/(mol\,K)},\;C_{P}\approx21{,}46\;\mathrm{J/(mol\,K)}.
(e) \Delta U\approx-1\,436\;\mathrm J.
(f) W_{\rm tot}\approx-400\;\mathrm J.

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