Nitrogênio e metano são os principais constituintes do gás natural liquefeito, um dos combustíveis de maior utilização à escala mundial. A 110 K e 5 MPa , os volumes molares de misturas líquidas de \mathrm{N}_{2} (1) e \mathrm{CH}_{4} (2) são dados pela equação:
\underline{V}\left(\mathrm{~cm}^{3} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}\right)=42,8 x_{1}+37,75 x_{2}-x_{1} x_{2}\left(2,612+2,605 x_{1}\right)
a) Calcule o volume molar parcial do metano numa mistura de composição x_{1}=0,95, nas condições de P e T .
b) Determine o volume molar parcial a diluição infinita do metano.

Passo 1

O enunciado dá a equação do volume molar da mistura líquida de \mathrm{N}_2 (1) e \mathrm{CH}_4 (2) em função das frações molares \,x_1 e x_2:
\underline{V}(x_1,x_2)=42{,}8\,x_1+37{,}75\,x_2 - x_1 x_2\bigl(2{,}612+2{,}605\,x_1\bigr).
Pede-se a) o volume molar parcial de metano \bar V_2 para x_1=0{,}95 e b) o valor de \bar V_2 na diluição infinita x_2\to0, isto é x_1\to1. Vamos usar a relação para mistura binária a T,P constantes:
\bar V_2 = V - x_1\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x_1},
onde escrevemos V= \underline{V}(x_1,x_2) como função de x_1 só, lembrando que x_2=1-x_1.

Passo 2

Expressamos V em função de x_1. Como x_2=1-x_1,
V(x_1)=42{,}8\,x_1+37{,}75\,(1-x_1)-x_1(1-x_1)\bigl(2{,}612+2{,}605\,x_1\bigr).
Reunindo termos lineares:
V(x_1)=37{,}75+5{,}05\,x_1 - x_1(1-x_1)(2{,}612+2{,}605\,x_1).

Passo 3

Derivamos V(x_1) em relação a x_1. Denote a=2{,}612 e b=2{,}605. Se
f(x_1)=x_1(1-x_1)(a+b\,x_1)
então, ao expandir em potências de x_1 e derivar, obtém-se
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x_1} = a + 2(b-a)\,x_1 - 3b\,x_1^2 =2{,}612 -0{,}014\,x_1 -7{,}815\,x_1^2.
Como V(x_1)=37{,}75+5{,}05\,x_1 - f(x_1), segue
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x_1} =5{,}05 - \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x_1} =5{,}05 - \bigl(2{,}612 -0{,}014\,x_1 -7{,}815\,x_1^2\bigr) =2{,}438 +0{,}014\,x_1 +7{,}815\,x_1^2.

Passo 4

Avaliamo V e \mathrm{d}V/\mathrm{d}x_1 em x_1=0{,}95.
Primeiro,
V(0{,}95) =42{,}8\cdot0{,}95 +37{,}75\cdot0{,}05 -0{,}95\cdot0{,}05\bigl(2{,}612+2{,}605\cdot0{,}95\bigr) \approx42{,}3059\;\mathrm{cm^3/mol}.
Em seguida,
\left.\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x_1}\right|_{0{,}95} =2{,}438 +0{,}014\cdot0{,}95 +7{,}815\,(0{,}95)^2 \approx9{,}5043\;\mathrm{cm^3/mol}.

Passo 5

Aplicando a fórmula da parcial molar de \mathrm{CH}_4:
\bar V_2 =V - x_1\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x_1} =42{,}3059 -0{,}95\times9{,}5043 \approx33{,}28\;\mathrm{cm^3/mol}.

Passo 6

Para diluição infinita de \mathrm{CH}_4, fazemos x_1\to1. Assim
V(1)=42{,}8,\quad \left.\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x_1}\right|_{1} =2{,}438+0{,}014\cdot1+7{,}815\cdot1^2 =10{,}267.
Logo
\bar V_2^\infty =42{,}8 - 1\cdot10{,}267 \approx32{,}53\;\mathrm{cm^3/mol}.

Resposta

a) \bar V_2\approx33{,}28\;\mathrm{cm^3/mol}.\n b) \(\bar V_2^\infty\approx32{,}53\;\mathrm{cm^3/mol}.)

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