Considere 1 mol de um gás ideal em uma montagem cilindro-pistão. Esse gás é submetido a um ciclo de Carnot conforme as etapas abaixo. A capacidade calorífica do gás é constante, C_{v}=3 / 2 R.
I. Expansão isotérmica reversível de 10 bar até 0,1 bar
II. Expansão adiabática reversível de 0,1 bar e 1000 K até 300 K
III. Compressão isotérmica reversível a 300 K
IV. Compressão adiabática reversível de 300 K até 1000 K e 10 bar.
a) Calcule Q, W e \Delta U para cada uma das etapas do ciclo de Carnot
b) Calcule a eficiência do ciclo ( \boldsymbol{\eta} )
c) Sugira dois modos para tornar o processo mais eficiente (maior geração de trabalho).

Passo 1

Temos um gás ideal monatomic de n=1 mol com C_{v}=\tfrac{3}{2}R em um ciclo de Carnot entre T_H=1000 K e T_C=300 K. As etapas são
I. Expansão isotérmica a T_H de 10 bar até 0,1 bar
II. Expansão adiabática de 0{,}1 bar, 1000 K até 300 K
III. Compressão isotérmica a T_C=300 K
IV. Compressão adiabática de 300 K até 1000 K e 10 bar
Para cada etapa, calculamos Q, W (positivo se feito pelo gás) e \Delta U. Depois, achamos a eficiência \eta e sugerimos modos de aumentar W_{\rm líquido}í.

Passo 2

Etapa I: expansão isotérmica a T_H=1000 K de p_1=10 bar a p_2=0{,}1 bar.
Como \Delta U=0 em processo isotérmico,
W_I = nRT_H\ln\frac{V_2}{V_1} = nRT_H\ln\frac{p_1}{p_2} = 1\cdot8{,}314\cdot1000\;\ln\!\bigl(10/0{,}1\bigr) \approx 8{,}314\times10^3\cdot4{,}605 = 3{,}83\times10^4\\ \mathrm{J}.
Logo,
Q_I = W_I = +3{,}83\times10^4\\ \mathrm{J}, \quad \Delta U_I = 0.

Passo 3

Etapa II: expansão adiabática reversível de T_H=1000 K a T_C=300 K.
Aqui Q_{II}=0 e
\Delta U_{II} = nC_v\,(T_C - T_H) = 1\cdot\frac{3}{2}R\,(300 - 1000) = \tfrac{3}{2}\cdot8{,}314\cdot(-700) = -8{,}73\times10^3\\ \mathrm{J}.
Pela primeira lei, W_{II}=Q_{II}-\Delta U_{II}=-(-8{,}73\times10^3)=+8{,}73\times10^3 J.

Passo 4

Etapa III: compressão isotérmica a T_C=300 K do volume V_3 até V_4, onde \tfrac{V_3}{V_4}=100.
Como \Delta U_{III}=0,
W_{III} = nRT_C\ln\frac{V_4}{V_3} = nRT_C\ln\bigl(1/100\bigr) = -nRT_C\ln(100) = -8{,}314\cdot300\cdot4{,}605 = -1{,}15\times10^4\\ \mathrm{J}.
Logo,
Q_{III} = W_{III} = -1{,}15\times10^4\\ \mathrm{J}, \quad \Delta U_{III} = 0.

Passo 5

Etapa IV: compressão adiabática reversível de 300 K a 1000 K.
Novamente Q_{IV}=0 e
\Delta U_{IV} = nC_v\,(T_H - T_C) = \tfrac{3}{2}R\,(1000 - 300) = +8{,}73\times10^3\\ \mathrm{J},
portanto
W_{IV} = Q_{IV}-\Delta U_{IV} = -8{,}73\times10^3\\ \mathrm{J}.

Passo 6

O trabalho líquido é
W_{\rm net} = W_I + W_{II} + W_{III} + W_{IV} = 3{,}83\times10^4 + 8{,}73\times10^3 - 1{,}15\times10^4 - 8{,}73\times10^3 = 2{,}68\times10^4\\ \mathrm{J}.
O calor absorvido na etapa quente é Q_H=Q_I=3{,}83\times10^4 J, logo a eficiência é
\eta = \frac{W_{\rm net}}{Q_H} = \frac{2{,}68\times10^4}{3{,}83\times10^4} = 0{,}70\quad(70\%),
que coincide com 1 - T_C/T_H =1-300/1000=0{,}70.

Passo 7

Para aumentar a eficiência (mais trabalho por calor absorvido), pode-se:
  1. Elevar ainda mais a temperatura da fonte quente T_H;
  2. Baixar a temperatura do sumidouro T_C;
  3. Implementar um regenerator interno (recuperação de calor) para reduzir perdas em cada ciclo;
  4. Diminuir irreversibilidades (atmosfera isolada, atritos, etc.).

Resposta

a)
I: Q_I=+3{,}83\times10^4 J, W_I=+3{,}83\times10^4 J, \Delta U_I=0.
II: Q_{II}=0, W_{II}=+8{,}73\times10^3 J, \Delta U_{II}=-8{,}73\times10^3 J.
III: Q_{III}=-1{,}15\times10^4 J, W_{III}=-1{,}15\times10^4 J, \Delta U_{III}=0.
IV: Q_{IV}=0, W_{IV}=-8{,}73\times10^3 J, \Delta U_{IV}=+8{,}73\times10^3 J.
b) \eta=0{,}70 (70 %).
c) Aumentar T_H, diminuir T_C, usar regenerador e reduzir irreversibilidades.

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