Foi proposto um processo em que um gás que se assume como ideal é expandido num sistema fechado de 10 bar e 300 K até 1 bar e 500 K . Neste processo, o sistema efetua 1000 kJ de trabalho e recebe 5500 kJ de calor das vizinhanças a 300 K .
a) Verifique se este processo é possível
b) Confirme a possibilidade de o gás efetuar a mesma mudança de estado através de um processo adiabático.

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal em sistema fechado que vai do estado inicial
p_{1}=10\text{ bar},\;T_{1}=300\text{ K}
ao estado final
p_{2}=1\text{ bar},\;T_{2}=500\text{ K},
recebendo Q=5500 kJ de calor de uma vizinhança a T_{0}=300 K e realizando W=1000 kJ de trabalho.
Para verificar a viabilidade usamos:
– Primeira Lei (energia): \Delta U = Q - W.
– Segunda Lei (Clausius): \Delta S_{\rm sys} - \dfrac{Q}{T_{0}} = S_{\rm ger}\ge0.
Precisamos ainda da variação de entropia do gás ideal,
\Delta S_{\rm sys} = m\,c_{p}\ln\!\Bigl(\frac{T_{2}}{T_{1}}\Bigr)\;-\;m\,R\ln\!\Bigl(\frac{p_{2}}{p_{1}}\Bigr),
e relacionar m\,c_{v} a \Delta U.

Passo 2

Aplicando a Primeira Lei:
\Delta U = Q - W = 5500\;\mathrm{kJ} - 1000\;\mathrm{kJ} = 4500\;\mathrm{kJ}.
Como para gás ideal \Delta U = m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}), temos
m\,c_{v} = \frac{\Delta U}{T_{2}-T_{1}} = \frac{4500\;\mathrm{kJ}}{500\;\mathrm{K}-300\;\mathrm{K}} =22{,}5\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}}.
Assumindo, por exemplo, um gás diatômico k=c_{p}/c_{v}=1{,}4,
m\,c_{p} = k\,m\,c_{v} = 1{,}4\times22{,}5 =31{,}5\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}}, \quad m\,R = m\,(c_{p}-c_{v}) =31{,}5 -22{,}5 =9\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}}.

Passo 3

Calculamos a variação de entropia do gás:
\Delta S_{\rm sys} = m\,c_{p}\ln\!\Bigl(\frac{500}{300}\Bigr) \;-\;m\,R\ln\!\Bigl(\frac{1}{10}\Bigr).
Numericamente,
\ln\Bigl(\frac{500}{300}\Bigr)=0{,}511,\quad \ln\Bigl(\tfrac{1}{10}\Bigr)=-2{,}303,
então
\Delta S_{\rm sys} =31{,}5\times0{,}511 \;-\;9\times(-2{,}303) \approx16{,}1 +20{,}7 =36{,}8\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}}.

Passo 4

A entropia rejeitada à vizinhança a 300 K é
\frac{Q}{T_{0}} =\frac{5500\;\mathrm{kJ}}{300\;\mathrm{K}} =18{,}33\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}}.
Logo a geração de entropia é
S_{\rm ger} =\Delta S_{\rm sys}-\frac{Q}{T_{0}} =36{,}8 - 18{,}33 =18{,}47\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}}>0.
Como S_{\rm ger}\ge0, o processo satisfaz a Segunda Lei e é possível.

Passo 5

Para um processo adiabático geral (Q =0) podemos usar:
\Delta U = -W_{\rm ad},
logo
W_{\rm ad} = -\Delta U = -4500\;\mathrm{kJ}.
E a geração de entropia seria
S_{\rm ger} = \Delta S_{\rm sys} \approx36{,}8\;\mathrm{kJ/K}>0,
de modo que existe um caminho adiabático irreversível ligando os estados, bastando fornecer 4500 kJ de trabalho ao sistema. Portanto, é possível obter a mesma mudança de estado adiabaticamente.

Resposta

a) O processo proposto é possível, pois S_{\rm ger}=18{,}47\;\mathrm{kJ/K}>0.
b) Também é possível realizar a mesma mudança de estado por processo adiabático irreversível, fornecendo 4500 kJ de trabalho.

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