1 kmol de um gás ideal são sujeitos a um processo cíclico de 4 passos (ABCD):
  • A-B: Expansão isotérmica a 600 K de 5 bar para 4 bar
  • B-C: Expansão adiabática para 3 bar
  • C-D: Resfriamento a pressão constante
  • D-A: Resfriamento a volume constante
Assumindo que em cada um dos passos \mathrm{C}_{\mathrm{p}}=30 \mathrm{~J} / \mathrm{K} mol, calcule \mathbf{Q}, \mathbf{W}, \Delta \mathbf{U} e \Delta \mathrm{H} para cada passo e para o ciclo.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de quatro passos com 1 kmol de gás ideal, cujos estados são:
A→B: expansão isotérmica a 600 K de 5 bar para 4 bar
B→C: expansão adiabática até 3 bar
C→D: resfriamento (a seguir veremos que é a pressão constante de 3 bar)
D→A: processo a volume constante fechando o ciclo em A (5 bar, 600 K)
Precisamos calcular em cada passo e no ciclo:
• Calor Q trocado
• Trabalho W realizado pelo gás
• Variação de energia interna \Delta U
• Variação de entalpia \Delta H
Conteúdos usados: equações de estado do gás ideal, relações para processos isotérmico, adiabático, isobárico e isocórico, e
\Delta U = n\,C_v\,(T_2 - T_1),\quad \Delta H = n\,C_p\,(T_2 - T_1).

Passo 2

Determinar constantes molares e temperaturas nos estados C e D.
Sabendo que n=1\,\text{kmol}=1000\,\text{mol}, R=8{,}314\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol K}} e dado C_p=30\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol K}}, temos
C_v = C_p - R = 30 - 8{,}314 = 21{,}686\;\tfrac{\text{J}}{\text{mol K}},
\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{30}{21{,}686}\approx1{,}384.
No passo B→C (adiabático),
T_C = T_B\Bigl(\frac{P_C}{P_B}\Bigr)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} =600\;\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{\frac{1{,}384-1}{1{,}384}} \approx554{,}0\;\text{K}.
Em D→A sabemos que é volume constante e que em A temos P_A=5,bar, T_A=600,K; em D a pressão é P_D=P_C=3,bar, logo
T_D = T_A\,\frac{P_D}{P_A} =600\cdot\frac{3}{5}=360\;\text{K}.

Passo 3

Processo A→B: isotérmico em T=600,K de P_A=5,bar para P_B=4,bar.
Para processo isotérmico de gás ideal: \Delta U=0, \Delta H=0 e
W_{AB} = Q_{AB} = nR\,T\ln\frac{V_B}{V_A} = nR\,T\ln\frac{P_A}{P_B}.
Substituindo,
nR\,T = 1000\times8{,}314\times600 = 4{,}9884\times10^6\;\text{J}, \quad \ln\frac{5}{4}=0{,}2231436,
W_{AB}=Q_{AB} =4{,}9884\times10^6\cdot0{,}2231436 \approx1{,}1131\times10^6\;\text{J}.

Passo 4

Processo B→C: adiabático de P_B=4,bar, T_B=600,K para P_C=3,bar, T_C\approx554,K.
Em adiabático Q_{BC}=0 e
\Delta U_{BC} = n\,C_v\,(T_C-T_B) =1000\cdot21{,}686\;(554{,}0-600) \approx-0{,}99796\times10^6\;\text{J},
W_{BC} = -\Delta U_{BC} \approx+0{,}99796\times10^6\;\text{J},
\Delta H_{BC} = n\,C_p\,(T_C-T_B) =1000\cdot30\;(554{,}0-600) \approx-1{,}3794\times10^6\;\text{J}.

Passo 5

Processo C→D: isobárico a P=3,bar de T_C=554,K para T_D=360,K.
Em pressão constante:
\Delta H_{CD} = n\,C_p\,(T_D-T_C) =1000\cdot30\;(360-554) \approx-5{,}8203\times10^6\;\text{J},
\Delta U_{CD} = n\,C_v\,(T_D-T_C) =1000\cdot21{,}686\;(360-554) \approx-4{,}2075\times10^6\;\text{J},
W_{CD} = P\Delta V = nR\,(T_D-T_C) =1000\cdot8{,}314\;(360-554) \approx-1{,}6129\times10^6\;\text{J},
Q_{CD} = \Delta U_{CD} + W_{CD} \approx -5{,}8203\times10^6\;\text{J}.

Passo 6

Processo D→A: isocórico de T_D=360,K para T_A=600,K (mesmo volume de A).
Em volume constante W_{DA}=0 e
\Delta U_{DA} = n\,C_v\,(T_A-T_D) =1000\cdot21{,}686\;(600-360) \approx+5{,}2046\times10^6\;\text{J},
Q_{DA} = \Delta U_{DA} \approx+5{,}2046\times10^6\;\text{J},
\Delta H_{DA} = n\,C_p\,(T_A-T_D) =1000\cdot30\;(600-360) =+7{,}2000\times10^6\;\text{J}.

Passo 7

Somando sobre o ciclo (A→B→C→D→A):
\Delta U_{\text{ciclo}}=0,\quad \Delta H_{\text{ciclo}}=0,
Q_{\text{total}} =Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DA} \approx1{,}1131+0 -5{,}8203 +5{,}2046 \approx+0{,}4974\times10^6\;\text{J},
W_{\text{total}} =W_{AB}+W_{BC}+W_{CD}+W_{DA} \approx1{,}1131+0 +0{,}99796 -1{,}6129 +0 \approx+0{,}4982\times10^6\;\text{J}.

Resposta

Para cada passo (valores em MJ, com sinal positivo se entra calor ou é trabalho pelo gás):
(a) A→B (isotérmico 600 K, 5\to 4 bar) Q_{AB}=+1{,}113, W_{AB}=+1{,}113, \Delta U_{AB}=0, \Delta H_{AB}=0.
(b) B→C (adiabático 4\to 3 bar) Q_{BC}=0, W_{BC}=+0{,}998, \Delta U_{BC}=-0{,}998, \Delta H_{BC}=-1{,}379.
(c) C→D (isobárico 554\to 360 K a 3 bar) Q_{CD}=-5{,}820, W_{CD}=-1{,}613, \Delta U_{CD}=-4{,}207, \Delta H_{CD}=-5{,}820.
(d) D→A (isocórico 360\to 600 K) Q_{DA}=+5{,}205, W_{DA}=0, \Delta U_{DA}=+5{,}205, \Delta H_{DA}=+7{,}200.
(e) Ciclo completo Q_{\text{total}}=+0{,}498\;\text{MJ}, W_{\text{total}}=+0{,}498\;\text{MJ}, \Delta U_{\text{total}}=0, \Delta H_{\text{total}}=0.

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