Considere 3 mol de um gás ideal. Primeiro o gás sofre uma expansão livre para o dobro do volume inicial. Posteriormente, o gás é comprimido adiabaticamente até voltar ao volume inicial.
(b) Calcule a variação para à compressão adiabática.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos 3 mol de um gás ideal que primeiro se expande livremente para o dobro do volume inicial e depois é comprimido adiabaticamente de volta ao volume original. O conteúdo que a gente vai usar aqui é Termodinâmica, especialmente os processos adiabáticos. Para calcular a variação de energia na compressão adiabática, vamos precisar das leis dos gases ideais e das relações específicas para processos adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma compressão adiabática. Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, W = Pf Vf - Pi Vigamma - 1 . Isso significa que toda a variação de energia interna do gás é igual ao trabalho realizado sobre ele. A fórmula que vamos usar para o trabalho em uma compressão adiabática é:
onde:
  • é o trabalho realizado,
  • e são as pressões final e inicial,
  • e são os volumes final e inicial,
  • é o fator adiabático (para diatômicos, geralmente ).

Passo 3

Como estamos lidando com um gás ideal, a pressão e o volume estão relacionados pela lei dos gases ideais:
P V = n R T
Vamos assumir que o processo de compressão adiabática traz o gás de volta ao volume inicial . Já sabemos que o volume final dessa compressão é , e o volume inicial da compressão é .

Passo 4

Precisamos encontrar as pressões inicial P V^gamma = constante e final Pi Vf^gamma = Pf Vi^gamma da compressão adiabática. Usando a relação adiabática para gases ideais:
Pi (2 Vi)^gamma = Pf Vi^gamma
Então,
Pf = Pi cdot 2^gamma
Como , substituímos:
Simplificando,

Passo 5

Agora, substituímos W = Pi cdot 2^gamma cdot Vi - Pi cdot Vigamma - 1 = Pi Vi (2^gamma - 1)gamma - 1 na fórmula do trabalho:

Passo 6

Para encontrar Pi Vi = n R Ti , usamos a lei dos gases ideais no estado inicial. Supondo que a temperatura inicial seja W = n R Ti (2^gamma - 1)gamma - 1 :
Como não temos o valor de , vamos manter a expressão em termos de :

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores conhecidos:
  • W = 3 times 8.314 times Ti (2^1.4 - 1)1.4 - 1 mol,
  • W = 3 times 8.314 times Ti (2.639 - 1)0.4 = 3 times 8.314 times Ti times 1.6390.4 approx 40.869 times Ti0.4 approx 102.1725 times Ti , J ,
  • .
Então,
Calculando :

Resposta

A variação do trabalho durante a compressão adiabática é aproximadamente joules, onde é a temperatura inicial do gás.

Exercícios relacionados