A energia de Helmholtz de n moles do gás de Van der Waals é dada por,
F(T, V)=-naV-nRTLn(cT^3 / 2(V-nb)) onde a , b e c são constantes.
Determine,
a) pressão do gás
b) entropia do gás
c) Escreva a forma diferencial da entropia como função das variáveis TeV
d) capacidade térmica do gás a volume constante
e) compressibilidade isotérmica do gás KT.
Compressibilidade Isotérmica : KT=-1V(partial Vpartial P)T
f) o coeficiente de dilatação volumétrica

Passo 1

O enunciado fornece a energia livre de Helmholtz de n moles de um gás de Van der Waals,
F(T,V) = -n aV ;-; nRTlnl(c,T^3/2(V-nb)r),
com a,b,c constantes. Vamos obter:
  • (a) a pressão P via P=-l(partial F/partial Vr)T,
  • (b) a entropia S via S=-l(partial F/partial Tr)V,
  • (c) a forma diferencial dS(T,V),
  • (d) a capacidade térmica a V constante CV=T(partial S/partial T)V,
  • (e) a compressibilidade isotérmica KT=-tfrac1V(partial V/partial P)T,
  • (f) o coeficiente de dilatação volumétrica alpha=tfrac1V(partial V/partial T)P.

Passo 2

Calcular a pressão:
partial Fpartial V|T &= partialpartial Vl(-n aVr) ;-; nRT,partialpartial Vlnl(c,T^3/2(V-nb)r) &= n aV^2 ;-; nRT;1,V-nb,
Logo
P ;=;-,partial Fpartial V|T = nRT,V-nb,;-;n aV^2

Passo 3

Calcular a entropia:
partial Fpartial T|V &= -,nRT,partialpartial Tlnl(c,T^3/2(V-nb)r) - nRlnl(c,T^3/2(V-nb)r) &= -,nRl[lnl(c,T^3/2(V-nb)r) + T,3/2Tr] = -,nRl[lnl(c,T^3/2(V-nb)r)+tfrac32r]
Portanto
S = -partial Fpartial T|V = nRl[lnl(c,T^3/2(V-nb)r)+tfrac32r]

Passo 4

Forma diferencial de S(T,V). Das derivadas parciais:
partial Spartial T|V = nR;3/2T ,, partial Spartial V|T = nR;1,V-nb,
Logo
dS = 32nR,dTT + nR,dV,V-nb,

Passo 5

Capacidade térmica a volume constante:
CV = T;partial Spartial T|V = T;3/2,nRT = tfrac32,nR

Passo 6

Compressibilidade isotérmica KT. Primeiro
partial Ppartial V|T = -,2n aV^3 - nR,T;1(V-nb)^2
Como (partial V/partial P)T=1/(partial P/partial V)T, temos
KT = -1V;1partial Ppartial V|T = 1,2n a/V^2 ;+; nR,T,V/(V-nb)^2,

Passo 7

Coeficiente de dilatação volumétrica alpha. Usando
alpha = 1Vl(partial Vpartial Tr)P = -1V; partial Ppartial T|V partial Ppartial V|T,
onde partial P/partial T|V=nR/(V-nb). Logo
alpha = nR/(V-nb) ,2n a/V^2 + nR,T,V/(V-nb)^2,

Resposta

(a) P = nRTV-nb-n aV^2
(b) S = nRl[lnl(c,T^3/2(V-nb)r)+tfrac32r]
(c) dS = 32nR,dTT + nR,dVV-nb
(d) CV = tfrac32,nR
(e) KT = 1,2n a/V^2 + nR,T,V/(V-nb)^2!
(f) alpha = nR/(V-nb),2n a/V^2 + nR,T,V/(V-nb)^2!

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