A energia livre de Helmholtz de um modelo de N osciladores harmônicos quânticos que vibram todos com a mesma frequencia v e se encontram a temperatura T é,
F(T, N)=N kB T Ln(2 sinh (h v2 kB T))
kB é a constante de Boltzmann e h é a constante de Planck.
Calcule,
a) A entropia
b) Energia interna U
c) Capacidade térmica
CV=T(partial Spartial T)V
d) Faça o limite de T 0 e encontre C(T) para T 0
e) Calcule o limite de temperatura alta da capacidade térmica, KB T gg h v.

Passo 1

O enunciado dá a energia livre de Helmholtz de N osciladores harmônicos quânticos, todos com mesma frequência v, à temperatura T:
F(T,N)=N kBT,ln!l(2sinhl(tfrach v2kBTr)r)
Precisamos usar as definições
S=-l(partial F/partial Tr)V,
U=F+TS e
CV=Tl(partial S/partial Tr)V.

Passo 2

Calcular a entropia
S=-partialpartial Tl[N kBTln!l(2sinhthetar)r],
onde definimos theta=h v2kBT.
Fazendo a derivada:
partialpartial Tl[Tln(2sinhtheta)r] =ln(2sinhtheta) +T12sinhtheta,2coshtheta;dthetadT,
com dtheta/dT=-thetaT. Logo
S=N kBl[thetacoththeta-lnl(2sinhthetar)r]

Passo 3

Calcular a energia interna
U=F+TS =N kBTln(2sinhtheta) +T;N kBl[thetacoththeta-ln(2sinhtheta)r] =N kBT;thetacoththeta
Como theta=h v/(2kBT), fica
U =N,h v2coth!l(tfrach v2kBTr)

Passo 4

Calcular a capacidade térmica
CV=dUdT =ddTl[N,tfrach v2coththetar] =N,h v2l(-csch^2thetar)dthetadT =N,h v2,csch^2theta;thetaT
Usando theta=h v/(2kBT) e reescrevendo
CV =N kB,theta^2sinh^2theta =N kBl(h v2kBTr)^21sinh^2!l(tfrach v2kBTr)

Passo 5

Limite Tto0. Nesse caso thetatoinfty e
sinhthetaapproxtfrac12e^theta, de modo que
theta^2sinh^2thetasim4,theta^2e^-2theta Longrightarrow CVsim N kB,4,theta^2e^-2theta sim N kBl(h vkBTr)^2e^-,tfrach vkBT,,
ou seja CVto0 exponencialmente.

Passo 6

Limite de alta temperatura kBTgg h v, logo thetall1. Usa-se
sinhthetaapproxtheta+theta^3/6, então
theta/sinhthetaapprox1-theta^2/6 e
l(theta/sinhthetar)^2approx1-theta^2/3. Assim
CVapprox N kBl[1-tfrac13l(tfrach v2kBTr)^2r] ;xrightarrow[Ttoinfty],N kB

Resposta

a) S=N kBl[tfrach v2kBTcoth!l(tfrach v2kBTr)-lnl(2sinh(tfrach v2kBT)r)r]
b) U=N,h v2coth!l(tfrach v2kBTr)
c) CV=N kBl(h v2kBTr)^21sinh^2!l(tfrach v2kBTr)
d) Tto0:;CVsim N kBl(tfrach vkBTr)^2e^-h v/(kBT)to0
e) kBTgg h v:;CVto N kB

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