A energia livre de Helmholtz de um modelo de N osciladores harmônicos quânticos que vibram todos com a mesma frequencia e se encontram a temperatura T é,
é a constante de Boltzmann e h é a constante de Planck.
Calcule,
a) A entropia
b) Energia interna U
c) Capacidade térmica
d) Faça o limite de e encontre para
e) Calcule o limite de temperatura alta da capacidade térmica, .
Passo 1
O enunciado dá a energia livre de Helmholtz de osciladores harmônicos quânticos, todos com mesma frequência , à temperatura :
Precisamos usar as definições , e .
Passo 2
Calcular a entropia
onde definimos .
Fazendo a derivada:
com . Logo
Passo 3
Calcular a energia interna
Como , fica
Passo 4
Calcular a capacidade térmica
Usando e reescrevendo
Passo 5
Limite . Nesse caso e , de modo que
ou seja exponencialmente.
Passo 6
Limite de alta temperatura , logo . Usa-se , então e . Assim
Resposta
a) S=N kBl[tfrach v2kBTcoth!l(tfrach v2kBTr)-lnl(2sinh(tfrach v2kBT)r)r]
b) U=N,h v2coth!l(tfrach v2kBTr)
c) CV=N kBl(h v2kBTr)^21sinh^2!l(tfrach v2kBTr)
d) Tto0:;CVsim N kBl(tfrach vkBTr)^2e^-h v/(kBT)to0
e) kBTgg h v:;CVto N kB