Considere uma panela de aço usada para ferver água em um fogão elétrico. A seção inferior da panela tem espessura \mathrm{L}=0,3 \mathrm{~cm} e diâmetro \mathrm{D}=20 \mathrm{~cm}. Uma boca do fogão consome 1250 W de potência durante seu uso, e 85 \% do calor gerado é transferido uniformemente para a panela. A transferência de calor da superficie superior do fundo da panela para a água ocorre por convecção, com coeficiente de transferência de calor h . Considerando que a condutividade térmica é constante e a transferência de calor é unidimensional, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições de contorno) desse problema de condução de calor durante operação permanente. Não resolva o problema.

Passo 1

O enunciado descreve condução de calor unidimensional, em regime permanente, através da espessura L do fundo de aço da panela. A condutividade térmica do aço é k, e a transferência de calor é por condução no interior da placa de espessura L, enquanto na face superior há convecção para a água com coeficiente h. A potência líquida fornecida ao fundo da panela é
\dot Q = 0{,}85 \times 1250\;\mathrm{W},
distribuída de forma uniforme sobre a área da base da panela A = \pi D^2/4. Precisamos escrever a equação diferencial de condução em estado estacionário e as condições de contorno.

Passo 2

Definimos o eixo x ao longo da espessura da placa, com x=0 na face que recebe o calor do fogão e x=L na face que faz convecção com a água. Em regime permanente e sem geração interna de calor, a equação de Fourier em 1-D é
\frac{d}{dx}\Bigl(k\,\frac{dT}{dx}\Bigr) \;=\; 0.

Passo 3

A condição de contorno em x=0 é de fluxo térmico imposto pela potência do fogão. Como a potência transferida é \dot Q, o fluxo superficial é
q'' = \frac{\dot Q}{A}
e, segundo a lei de Fourier,
-k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0} \;=\; q''.

Passo 4

A condição de contorno em x=L é convectiva para a água, cuja temperatura de grande reservatório chamamos de T_\infty. Pela lei de Newton do resfriamento,
-k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} \;=\; h\,\bigl(T(L) - T_\infty\bigr).

Resposta

Equação diferencial:
\frac{d}{dx}\Bigl(k\,\frac{dT}{dx}\Bigr) = 0.
Condições de contorno:
-k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0} = \frac{0{,}85 \times 1250}{\pi D^2/4},
-k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\,\bigl(T(L) - T_\infty\bigr).

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