Considere uma placa horizontal de ar cuja espessura (altura) é
. Se esta laje está em repouso, a pressão que o mantém por baixo deve equilibrar tanto o pressão de cima e o peso da laje. Use esse fato para encontrar uma expressão para
, a variação da pressão com a altitude, em termos de a densidade do ar.
b-) Use a lei dos gases ideais para escrever a densidade do ar em termos de pressão, temperatura e a massa média
das moléculas de ar. (A informação necessária para calcular m é dada no Problema 1.14.) Mostre, então, que pressão obedece à equação diferencial
b-) Use a lei dos gases ideais para escrever a densidade do ar em termos de pressão, temperatura e a massa média
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa horizontal de ar com uma espessura (altura) representada por
. A placa está em repouso, o que significa que a pressão que está abaixo dela deve equilibrar tanto a pressão de cima quanto o peso da própria placa.
Para resolver essa questão, vamos precisar usar conceitos de hidrostática, que estuda o equilíbrio de fluidos em repouso, e a lei dos gases ideais, que relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de gás. Também vamos precisar entender como a densidade do ar se relaciona com esses parâmetros.
Passo 2
Primeiramente, vamos analisar o equilíbrio de forças na placa de ar em repouso. A pressão sobre a placa de cima (
) deve equilibrar a pressão de baixo (
) mais o peso da placa de ar.
Matematicamente, podemos expressar isso da seguinte forma:
Aqui,
é a densidade do ar,
é a aceleração da gravidade, e
é a espessura da placa.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para encontrar
. Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Portanto:
Esta é a expressão que relaciona a variação da pressão com a altura em termos da densidade do ar.
Passo 4
Agora, vamos utilizar a lei dos gases ideais para expressar a densidade do ar (
) em termos de pressão (
), temperatura (
) e massa média das moléculas de ar (
). A lei dos gases ideais é dada por:
onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é o número de moléculas, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura.
Podemos reescrever a equação em termos de densidade (
):
Portanto, a densidade é:
Passo 5
Substituindo a expressão de
na equação que encontramos no Passo 3:
Isso simplifica para:
Esta é a equação diferencial que a pressão
obedece, relacionando-a com a altura
, a temperatura
, a massa média das moléculas
, a aceleração da gravidade
e a constante de Boltzmann
.
Resposta
A pressão obedece à equação diferencial: