Considere uma placa horizontal de ar cuja espessura (altura) é d z. Se esta laje está em repouso, a pressão que o mantém por baixo deve equilibrar tanto o pressão de cima e o peso da laje. Use esse fato para encontrar uma expressão para d P / d z, a variação da pressão com a altitude, em termos de a densidade do ar.
b-) Use a lei dos gases ideais para escrever a densidade do ar em termos de pressão, temperatura e a massa média m das moléculas de ar. (A informação necessária para calcular m é dada no Problema 1.14.) Mostre, então, que pressão obedece à equação diferencial

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa horizontal de ar com uma espessura (altura) representada por . A placa está em repouso, o que significa que a pressão que está abaixo dela deve equilibrar tanto a pressão de cima quanto o peso da própria placa.
Para resolver essa questão, vamos precisar usar conceitos de hidrostática, que estuda o equilíbrio de fluidos em repouso, e a lei dos gases ideais, que relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de gás. Também vamos precisar entender como a densidade do ar se relaciona com esses parâmetros.

Passo 2

Primeiramente, vamos analisar o equilíbrio de forças na placa de ar em repouso. A pressão sobre a placa de cima ( P = (P + dP) + rho cdot g cdot dz ) deve equilibrar a pressão de baixo ( ) mais o peso da placa de ar.
Matematicamente, podemos expressar isso da seguinte forma:
Aqui, é a densidade do ar, é a aceleração da gravidade, e é a espessura da placa.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para encontrar 0 = dP + rho cdot g cdot dz . Subtraindo 0 = dPdz + rho cdot g de ambos os lados:
dPdz = -rho cdot g
Dividindo ambos os lados por :
Portanto:
Esta é a expressão que relaciona a variação da pressão com a altura em termos da densidade do ar.

Passo 4

Agora, vamos utilizar a lei dos gases ideais para expressar a densidade do ar ( PV = NkT ) em termos de pressão ( P = rho kTm ), temperatura ( rho = PmkT ) e massa média das moléculas de ar ( ). A lei dos gases ideais é dada por:
onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é o número de moléculas,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura.
Podemos reescrever a equação em termos de densidade ( ):
Portanto, a densidade é:

Passo 5

Substituindo a expressão de dPdz = -( PmkT ) g na equação que encontramos no Passo 3:
dPdz = -mgkT P
Isso simplifica para:
Esta é a equação diferencial que a pressão obedece, relacionando-a com a altura , a temperatura , a massa média das moléculas , a aceleração da gravidade e a constante de Boltzmann .

Resposta

A pressão obedece à equação diferencial:
dPdz = -mgkT P

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