Considere a relação d V=\alpha \cdot V \cdot d T-\kappa_{T} \cdot V \cdot d p onde \alpha é o coeficiente de expansão térmica e \kappa_{\mathrm{T}} é a compressibilidade isotérmica do sistema.
a) Integre a relação acima a partir de um estado de referência \mathrm{p}_{0}, \mathrm{~V}_{0} e \mathrm{T}_{0} para um sistema cujos coeficientes \alpha e \kappa_{\mathrm{T}} possam ser considerados constantes, a fim de obter uma equação relacionando o volume, a pressão e a temperatura do sistema. ( \mathbf{0 , 5} ponto)
b) Certa quantidade de mercúrio está na pressão de 1 \mathrm{~atm}\left(10^{5} \mathrm{~Pa}\right) e na temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} coeficiente de expansão térmica do mercúrio é 1,81 \cdot 10^{-4} \mathrm{~K}^{-1} e sua compressibilidade isotérmica é 3,82 \cdot 10^{-11} \mathrm{~Pa}^{-1}. Se a temperatura do mercúrio for elevada para 10^{\circ} \mathrm{C} a volume constante, qual será a pressão final? ( \mathbf{0 , 5} ponto)

Passo 1

O enunciado dá a relação diferencial
dV=\alpha\cdot V\cdot dT-\kappa_{T}\cdot V\cdot dp
e pede duas coisas:
  • (a) Integrar essa relação a partir de um estado de referência (p_{0},V_{0},T_{0}) para um caso em que \alpha e \kappa_{T} são constantes, obtendo uma equação que relaciona V, p e T.
  • (b) Aplicar o resultado ao mercúrio com dados: p_{0}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}, T_{0}=0^\circ\mathrm{C}, temperatura final T=10^\circ\mathrm{C}, \alpha=1{,}81\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1}, \kappa_{T}=3{,}82\cdot 10^{-11}\\ \mathrm{Pa}^{-1}, e condição de volume constante (ou seja V=V_{0}). A pergunta (b) pede a pressão final p.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação diferencial relaciona variações relativas de volume com variação de temperatura e pressão.
  • Em (a) \alpha e \kappa_{T} são constantes; em (b) usamos os valores numéricos dados.
  • Para (b) a elevação de temperatura é \Delta T=10^\circ\mathrm{C}=10\\ \mathrm{K} (diferença em Kelvin é igual à diferença em Celsius).

Passo 2

Interpretação matemática e manipulação inicial.
Divido ambos os lados por V (assumindo V>0), o que dá uma forma mais simples para integrar:
\frac{dV}{V}=\alpha\,dT-\kappa_{T}\,dp.
Explicando: \frac{dV}{V} é a variação relativa (diferencial) do volume; \alpha e \kappa_{T} aparecem multiplicando os diferenciais de temperatura e pressão, respectivamente. Com \alpha e \kappa_{T} constantes, podemos integrá-los facilmente.

Passo 3

Configurar a integral entre os estados inicial e final.
Integramos ambos os lados entre os estados dados: V_{0}\to V, T_{0}\to T e p_{0}\to p. Como \alpha e \kappa_{T} são constantes, podemos colocá-los fora das integrais:
\int_{V_{0}}^{V}\frac{dV'}{V'}=\int_{T_{0}}^{T}\alpha\,dT'-\int_{p_{0}}^{p}\kappa_{T}\,dp'.
Nota: usei primos V',T',p' nos limites de integração para evitar confusão entre variáveis e limites.

Passo 4

Calcular as integrais e obter a relação logarítmica.
A integral do lado esquerdo é a do logaritmo natural; as do lado direito são triviais por \alpha e \kappa_{T} constantes. Então:
\ln\!\left(\frac{V}{V_{0}}\right)=\alpha\,(T-T_{0})-\kappa_{T}\,(p-p_{0}).
Explicando passo a passo:
  • \int_{V_{0}}^{V}\frac{dV'}{V'}=\ln V-\ln V_{0}=\ln\!\left(\frac{V}{V_{0}}\right).
  • \int_{T_{0}}^{T}\alpha\,dT'=\alpha(T-T_{0}).
  • \int_{p_{0}}^{p}\kappa_{T}\,dp'=\kappa_{T}(p-p_{0}).

Passo 5

Isolar V (exponenciação) para escrever a equação em forma explícita.
Aplicando exponencial em ambos os lados:
V=V_{0}\,\exp\!\big[\alpha\,(T-T_{0})-\kappa_{T}\,(p-p_{0})\big].
Comentário didático: essa fórmula diz que o volume varia exponencialmente com combinações lineares de \Delta T e \Delta p. Quando \Delta T aumenta, o termo \alpha\,(T-T_{0}) tende a aumentar V; quando \Delta p aumenta (pressão subindo), o termo -\kappa_{T}(p-p_{0}) tende a reduzir V.

Passo 6

Aplicar o resultado ao caso (b): condição de volume constante.
Para volume constante V=V_{0} temos \ln(V/V_{0})=0. Usando a relação já obtida:
0=\alpha\,(T-T_{0})-\kappa_{T}\,(p-p_{0}).
Isolando p:
p-p_{0}=\frac{\alpha}{\kappa_{T}}\,(T-T_{0}).
Logo
p=p_{0}+\frac{\alpha}{\kappa_{T}}\,\Delta T,
onde \Delta T=T-T_{0}.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular com cuidado (aritmética em notação científica).
Dados:
\alpha=1{,}81\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1},\quad \kappa_{T}=3{,}82\cdot 10^{-11}\\ \mathrm{Pa}^{-1},\quad \Delta T=10\\ \mathrm{K},
p_{0}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Calcule a razão \dfrac{\alpha}{\kappa_{T}}:
\frac{\alpha}{\kappa_{T}}=\frac{1{,}81\cdot 10^{-4}}{3{,}82\cdot 10^{-11}} =\left(\frac{1{,}81}{3{,}82}\right)\cdot 10^{(-4)-(-11)}
=\;0{,}4733\cdot 10^{7} =4{,}733\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa\\ K^{-1}}.
Multiplicando por \Delta T=10\\ \mathrm{K}:
\frac{\alpha}{\kappa_{T}}\,\Delta T=4{,}733\cdot 10^{6}\times 10=4{,}733\cdot 10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Somando p_{0}:
p=p_{0}+4{,}733\cdot 10^{7}=1{,}00\cdot 10^{5}+4{,}733\cdot 10^{7}=4{,}743\cdot 10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
p\approx 4{,}74\cdot 10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Opcionalmente, em atmosferas ( 1\\ \mathrm{atm}\approx 10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
p\approx \frac{4{,}743\cdot 10^{7}}{10^{5}}\\ \mathrm{atm}\approx 474{,}3\\ \mathrm{atm}\approx 474\\ \mathrm{atm}.

Passo 8

Interpretação final curta e encorajamento.
Resultado físico: a pressão cresce muito porque o mercúrio é praticamente incompresível ( \kappa_{T} muito pequeno), então um pequeno aumento de temperatura a volume fixo gera uma grande elevação de pressão. Respira: você já sabe aplicar integrais simples e manipular logaritmos e exponenciais — isso cai direto em prova!

Resposta

V=V_{0}\,\exp\!\big[\alpha\,(T-T_{0})-\kappa_{T}\,(p-p_{0})\big]
p\approx 4{,}74\cdot 10^{7}\\ \mathrm{Pa}\quad(\approx 474\\ \mathrm{atm})

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