Considere a relação
onde
é o coeficiente de expansão térmica e
é a compressibilidade isotérmica do sistema.
a) Integre a relação acima a partir de um estado de referência
e
para um sistema cujos coeficientes
e
possam ser considerados constantes, a fim de obter uma equação relacionando o volume, a pressão e a temperatura do sistema. (
ponto)
b) Certa quantidade de mercúrio está na pressão de
e na temperatura de
coeficiente de expansão térmica do mercúrio é
e sua compressibilidade isotérmica é
. Se a temperatura do mercúrio for elevada para
a volume constante, qual será a pressão final? (
ponto)
a) Integre a relação acima a partir de um estado de referência
b) Certa quantidade de mercúrio está na pressão de
Passo 1
O enunciado dá a relação diferencial
e pede duas coisas:
- (a) Integrar essa relação a partir de um estado de referência
para um caso em que e são constantes, obtendo uma equação que relaciona , e . - (b) Aplicar o resultado ao mercúrio com dados:
, , temperatura final , , , e condição de volume constante (ou seja ). A pergunta (b) pede a pressão final .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação diferencial relaciona variações relativas de volume com variação de temperatura e pressão.
- Em (a)
e são constantes; em (b) usamos os valores numéricos dados. - Para (b) a elevação de temperatura é
(diferença em Kelvin é igual à diferença em Celsius).
Passo 2
Interpretação matemática e manipulação inicial.
Divido ambos os lados por
(assumindo
), o que dá uma forma mais simples para integrar:
Explicando:
é a variação relativa (diferencial) do volume;
e
aparecem multiplicando os diferenciais de temperatura e pressão, respectivamente. Com
e
constantes, podemos integrá-los facilmente.
Passo 3
Configurar a integral entre os estados inicial e final.
Integramos ambos os lados entre os estados dados:
,
e
. Como
e
são constantes, podemos colocá-los fora das integrais:
Nota: usei primos
nos limites de integração para evitar confusão entre variáveis e limites.
Passo 4
Calcular as integrais e obter a relação logarítmica.
A integral do lado esquerdo é a do logaritmo natural; as do lado direito são triviais por
e
constantes. Então:
Explicando passo a passo:
-
. -
. -
.
Passo 5
Isolar
(exponenciação) para escrever a equação em forma explícita.
Aplicando exponencial em ambos os lados:
Comentário didático: essa fórmula diz que o volume varia exponencialmente com combinações lineares de
e
. Quando
aumenta, o termo
tende a aumentar
; quando
aumenta (pressão subindo), o termo
tende a reduzir
.
Passo 6
Aplicar o resultado ao caso (b): condição de volume constante.
Para volume constante
temos
. Usando a relação já obtida:
Isolando
:
Logo
onde
.
Passo 7
Substituir os valores numéricos e calcular com cuidado (aritmética em notação científica).
Dados:
Calcule a razão
:
Multiplicando por
:
Somando
:
Arredondando com 3 algarismos significativos:
Opcionalmente, em atmosferas (
):
Passo 8
Interpretação final curta e encorajamento.
Resultado físico: a pressão cresce muito porque o mercúrio é praticamente incompresível (
muito pequeno), então um pequeno aumento de temperatura a volume fixo gera uma grande elevação de pressão. Respira: você já sabe aplicar integrais simples e manipular logaritmos e exponenciais — isso cai direto em prova!