Considere um reservatório de combustível cilíndrico, com 3 metros de diâmetro, e 4 metros de altura para o combustível (rho =800 kg / m 3 ). Um dreno de 3 cm de diâmetro está localizado na
sua base, e a velocidade de saída é dada por Bernoulli como sendo:
p1rho+omega1^22+g z1=p2rho+omega2^22+g z2 therefore omega2=raiz2 g h
Determine o tempo necessário para esvaziar totalmente o tanque, e prove pela conservação da massa que o termo da velocidade na superfície é desprezível.
d md t=dotme-dotms d md t=-dotms rho A d hd t=-rho As omegas A d hd t=-As raiz2 g h=-As raiz2 g h^12 h^-12 d h=-AsA raiz2 g d t integralz 1^z 2=0 h^-12 d h=-AsA raiz2 g integral0^t d t 2 z2^12-2 z1^12=-AsA raiz2 g cdot t t=2(raizz1-raizz2)raiz2 g AAs

Passo 1

O enunciado dá um reservatório cilíndrico de diâmetro interno D=3,m e altura inicial de combustível h0=4,m. A densidade do combustível é rho=800,kg/m^3. Na base há um orifício de diâmetro d=0,03,m e, por Bernoulli, a velocidade de saída no orifício é
omegas=raiz2,g,h,
Queremos (a) o tempo t para esvaziar o tanque de h0 até zero e (b) demonstrar, usando a conservação de massa, que a velocidade da superfície livre omega1 é desprezível.

Passo 2

Aplicamos conservação de massa ao volume de líquido:
d md t=-dot ms,
onde m=rho,A,h é a massa no tanque ( A área da seção transversal do tanque) e dot ms=rho,As,omegas é a vazão mássica de saída ( As área do orifício). Substituindo, obtemos
rho,A,d hd t ;=;-,rho,As,raiz2,g,h Longrightarrow A,d hd t ;=;-,As,raiz2,g;h^tfrac12

Passo 3

Separamos variáveis e integramos de h=h0 até h=0 e de t=0 até t=t:
h^-tfrac12,d h ;=;-,AsA,raiz2,g;d t Longrightarrow integralh0^0h^-tfrac12d h ;=;-,AsA,raiz2,g,integral0^td t
Como integral h^-tfrac12d h=2,h^tfrac12, resulta
2l(0^tfrac12-h0^tfrac12r) =-,AsA,raiz2,g;t Longrightarrow t =2,raizh0raiz2,g;AAs

Passo 4

Calculamos as áreas:
A=pi D^24=pi,(3)^24=9pi4,m^2, As=pi d^24=pi,(0,03)^24=0,000225pi,m^2
Logo
AAs =tfrac9pi40,000225pi =94cdot0,000225=10000
Substituindo em t:
t =10000;2raiz4raiz2cdot9,81 =10000;4raiz19,62 approx10000cdot0,903 approx9030;s approx2,51;h

Passo 5

Para estimar a velocidade da superfície omega1, note que pelo mesmo balanço de massa temos
A,omega1=As,omegas Longrightarrow omega1 =AsA,omegas approx10^-4,omegas
Como As/A=10^-4ll1, concluímos que omega1llomegas e portanto seu termo em Bernoulli pode ser desprezado.

Resposta

Tempo para esvaziar:
t =2raizh0raiz2,g;AAs approx9,03times10^3,sapprox2,51,h
Velocidade da superfície desprezível pois omega1/omegasapprox10^-4ll1.

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