Quatro moles de um gas ideal sofrem uma expansão de um volume V_{1} até um volume V_{2}=3,45 V_{1}.
a) Se a expansão é isotérmica à temperatura \mathrm{T}=410 \mathrm{~K}, determine o trabalho realizado sobre o gás que sofreu expansão.
b) Determine a variação da entropia, se existir.
c) Se a expansão é reversível e adiabática, em vez de isotérmica, qual a variação de entropia?

Passo 1

Temos um gás ideal com n=4 mol que se expande de um volume V_{1} até V_{2}=3,45\,V_{1}.
a) Precisamos calcular o trabalho realizado sobre o gás em uma expansão isotérmica à temperatura T=410 K.
b) Determinar a variação de entropia dessa transformação (se existir).
c) Repetir o item b) para uma expansão reversível adiabática.
Conteúdos necessários: lei dos gases ideais, trabalho em processo isotérmico reversível, definição de entropia, característica de processos adiabáticos reversíveis.

Passo 2

Para a expansão isotérmica reversível, o trabalho sobre o gás é
W_{\text{on}} = -\int_{V_{1}}^{V_{2}} p \, dV.
Pela equação de estado p = \dfrac{nRT}{V}, temos
W_{\text{on}} = -nRT \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{dV}{V} = -nRT \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}.
Substituindo n=4, R=8,314,J,mol ^{-1}K ^{-1}, T=410,K e \ln(3,45) \approx 1,238:
W_{\text{on}} = -4 \cdot 8,314 \cdot 410 \cdot 1,238 \approx -1{,}69 \times 10^{4} \text{ J}.

Passo 3

Em um processo isotérmico reversível, \Delta U=0 e toda energia trocada como calor é
Q_{\text{rev}}=-W_{\text{on}} =+nRT\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}.
A variação de entropia é
\Delta S=\frac{Q_{\text{rev}}}{T} =\frac{nR\,T\ln(V_{2}/V_{1})}{T} =nR\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}.
Logo
\Delta S =4\cdot8,314\cdot1,238 \approx41,2\text{ J/K}.

Passo 4

Para uma expansão reversível adiabática não há troca de calor ( Q=0), e portanto
\Delta S=0.

Resposta

a) W_{\text{on}}=-nRT\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}\approx -1{,}69\times10^{4} J
b) \Delta S=nR\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}\approx41{,}2 J/K
c) \Delta S=0

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