Uma máquina térmica reversível de Carnot, realiza um ciclo completo entre duas fontes térmicas. A expansão isotérmica de um gás ideal ocorre a 412 K e compressão isotérmica ocorre a 297 K . Durante a expansão isotérmica 2090J de energia térmica são transferidas para o gás. Determine:
a) A temperatura da fonte quente
\mathrm{T}_{\mathrm{Q}}=
\qquad
b) A temperatura da fonte fria
\mathrm{T}_{\mathrm{F}}=
\qquad
c) o trabalho produzido pelo gás durante a expansão térmica
d) o calor rejeitado durante a compressão isotérmica
e) o trabalho realizado sobre o gás durante a compressão isotérmica
f) A variação de entropia do sistema e das fontes térmicas durante o ciclo;
g) A eficiência (rendimento) da máquina e compare com a eficiência de uma máquina de Carnot operando entre essas mesmas temperaturas.

Passo 1

O enunciado descreve uma máquina de Carnot reversível que opera entre duas fontes térmicas: durante a expansão isotérmica o gás absorve Q_{h}=2090,J a 412,K, e durante a compressão isotérmica ele rejeita calor a 297,K. Vamos usar a 1.ª lei da termodinâmica para ciclos ( \Delta U=0, logo W=Q em cada processo isotérmico) e a definição de rendimento de Carnot
\eta = 1 - \frac{T_{F}}{T_{Q}}
além das fórmulas de entropia para processos isotérmicos reversíveis
\Delta S = \frac{Q}{T}.

Passo 2

As temperaturas das fontes são exatamente as temperaturas dos processos isotérmicos, portanto:
\displaystyle T_{Q}=412,K
\displaystyle T_{F}=297,K

Passo 3

Durante a expansão isotérmica reversível a variação de energia interna é zero, então o trabalho produzido pelo gás vale
W_{\mathrm{exp}}=Q_{h}=2090\text{ J}.

Passo 4

Na compressão isotérmica reversível também \Delta U=0, logo o calor rejeitado e o trabalho realizado sobre o gás satisfazem Q_{c}+W_{\mathrm{comp}}=0 (sinais no sistema). Mas em módulo temos
Q_{c}=Q_{h}\,\frac{T_{F}}{T_{Q}} =2090\cdot\frac{297}{412}\approx1507\text{ J},
e como o trabalho realizado sobre o gás tem mesma magnitude,
W_{\mathrm{comp}}=1507\text{ J}.

Passo 5

A variação de entropia do gás no ciclo é zero ( \Delta S_{\text{sist}}=0). Para as fontes:
\Delta S_{\text{quente}}=-\frac{Q_{h}}{T_{Q}} =-\frac{2090}{412}\approx-5{,}07\text{ J/K},
\Delta S_{\text{fria}}=+\frac{Q_{c}}{T_{F}} =+\frac{1507}{297}\approx+5{,}07\text{ J/K}.
O total \Delta S_{\text{fontes}}=0, consistente com reversibilidade.

Passo 6

O rendimento da máquina é
\eta=\frac{W_{\mathrm{líquido}}}{Q_{h}} =\frac{Q_{h}-Q_{c}}{Q_{h}} =1-\frac{T_{F}}{T_{Q}} =1-\frac{297}{412}\approx0{,}279\;(27{,}9\%).í
Por ser máquina de Carnot reversível, esse rendimento é exatamente igual ao rendimento de qualquer máquina de Carnot operando entre as mesmas temperaturas.

Resposta

a) T_{Q}=412,K
b) T_{F}=297,K
c) W_{\mathrm{exp}}=2090,J
d) Q_{c}\approx1507,J
e) W_{\mathrm{comp}}\approx1507,J
f) \Delta S_{\text{sist}}=0, \Delta S_{\text{quente}}\approx-5{,}07,J/K, \Delta S_{\text{fria}}\approx+5{,}07,J/K
g) \eta\approx27{,}9\%, igual ao rendimento de Carnot entre 412,K e 297,K.

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