Considere uma resultante de força F_{y} atuando em uma secção retangular de altura igual a 2 h e largura igual 2 b. Escreva a expressão para a tensão de cisalhamento \tau_{x y}(x, y) para os dois casos abaixo.
h=b / 24

Passo 1

O problema pede a distribuição da tensão de cisalhamento \tau_{xy}(x,y) num segmento retangular de largura total 2b (eixo x) e altura total 2h (eixo y), submetido a uma força cortante resultante F_{y} ao longo do eixo y. O conteúdo é a fórmula de cisalhamento em vigas:
\tau_{xy}(x,y)\;=\;\frac{V\,Q(y)}{I_{x}\,t(x)}
onde
V=F_{y} é a força cortante;
Q(y) é o primeiro momento de área da porção acima (ou abaixo) da linha y=\text{const};
I_{x} é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro x;
t(x) é a “espessura” na linha de cisalhamento (aqui t=2b, constante).

Passo 2

Calcule Q(y). Para um retângulo centrado em y=0, a área acima de uma linha y (com -h\le y\le h) tem
Q(y)=\int_{y}^{h}\!\!\int_{-b}^{b}y'\,dx\,dy' =\;2b\int_{y}^{h}y'\,dy' =\;b\bigl(h^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 3

Calcule o momento de inércia I_{x} da seção retangular de largura 2b e altura 2h:
I_{x}=\frac{\text{base}\times\text{altura}^{3}}{12} =\frac{(2b)\,(2h)^{3}}{12} =\frac{2b\cdot8h^{3}}{12} =\frac{4}{3}\,b\,h^{3}.

Passo 4

Substituindo em \tau_{xy}=\dfrac{F_{y}\,Q(y)}{I_{x}\,t} com t=2b, obtém-se
\tau_{xy}(y) =\frac{F_{y}\,\bigl[b(h^{2}-y^{2})\bigr]}{\bigl(\tfrac{4}{3}b\,h^{3}\bigr)\,(2b)} =\frac{3\,F_{y}\,\bigl(h^{2}-y^{2}\bigr)}{8\,b\,h^{3}}.
Note que não há dependência em x: \tau_{xy}(x,y)=\tau_{xy}(y).

Passo 5

Caso h=b:
\tau_{xy}(y) =\frac{3\,F_{y}}{8\,b\,b^{3}}\bigl(b^{2}-y^{2}\bigr) =\frac{3\,F_{y}}{8\,b^{2}}\Bigl(1-\frac{y^{2}}{b^{2}}\Bigr).

Passo 6

Caso h=\tfrac{b}{24}: primeiro note que \,h^{2}=\tfrac{b^{2}}{24^{2}}=\tfrac{b^{2}}{576}
e \,h^{3}=\tfrac{b^{3}}{24^{3}}=\tfrac{b^{3}}{13824}.
Logo
\tau_{xy}(y) =\frac{3\,F_{y}}{8\,b\,\bigl(\tfrac{b}{24}\bigr)^{3}} \Bigl(\tfrac{b^{2}}{576}-y^{2}\Bigr) =\frac{3\,F_{y}}{8\,b\,\bigl(b^{3}/13824\bigr)} \Bigl(\frac{b^{2}}{576}-y^{2}\Bigr) =\frac{9\,F_{y}}{b^{2}}\Bigl(1-576\,\frac{y^{2}}{b^{2}}\Bigr).

Resposta

Para uma seção 2b\times2h submetida a F_{y}, temos em geral
\tau_{xy}(y) =\frac{3\,F_{y}}{8\,b\,h^{3}}\bigl(h^{2}-y^{2}\bigr).
a) Se h=b:
\tau_{xy}(y) =\frac{3\,F_{y}}{8\,b^{2}}\Bigl(1-\frac{y^{2}}{b^{2}}\Bigr).
b) Se h=\tfrac{b}{24}:
\tau_{xy}(y) =\frac{9\,F_{y}}{b^{2}}\Bigl(1-576\,\frac{y^{2}}{b^{2}}\Bigr).

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