Considere a seguinte função de transferência de malha aberta dada por
. Esboce o lugar geométrico das raízes da função de transferência em malha fechada indicando cada passo na sua construção. Comente as características de estabilidade.
Passo 1
O enunciado dá a função de malha aberta
e pede: esboçar o lugar das raízes (root locus) em malha fechada indicando cada passo e comentar a estabilidade.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função em malha aberta depende do ganho real
(assumimos por padrão de projeto). - O lugar das raízes é o conjunto das raízes do polinômio característico em função de
: . - Precisamos identificar polos e zeros abertos, número de ramos, assíntotas, segmentos do eixo real que pertencem ao lugar, pontos de breakaway/break-in, ângulos de partida/chegada e pontos onde o locus cruza o eixo imaginário — tudo isso para discutir estabilidade.
Passo 2
Achar polos e zeros em malha aberta (passo fundamental antes de desenhar o lugar):
- Zeros (numerador): resolver
dá zeros em e . Logo os zeros finitos são - Polos (denominador): resolver
. - Um polo em
. - A equação quadrática
tem raízes Logo dois polos complexos conjugados em (estes estão no semiplano direito, pois a parte real é ).
Resumo: polos em; zeros em . Anote que há polos e zeros finitos.
- Um polo em
Passo 3
Número de ramos e assíntotas:
- O lugar das raízes tem
ramos, um por cada polo aberto, portanto ramos. Cada ramo começa em um polo quando . - Como
, há ramo que tende para o infinito (uma única assíntota). - Centro (centroid) das assíntotas: fórmula
Soma dos polos: . Soma dos zeros: . Então Ou seja, a assíntota está centrada em no eixo real. - Ângulos das assíntotas:
com . Aqui , então o único ângulo é isto é, a assíntota aponta para a esquerda ao longo do eixo real a partir do ponto .
Passo 4
Segmentos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes (regra: um ponto real pertence se o número de polos e zeros reais à direita for ímpar):
- Posicionamento dos pontos reais (em ordem crescente):
. - Testando intervalos:
- Para
: à direita temos (3 pontos) → ímpar → pertence ao locus. - Para
: à direita temos (2 pontos) → par → não pertence. - Para
: à direita temos (1 ponto) → ímpar → pertence. - Para
: à direita não há polos/zeros reais → 0 (par) → não pertence.
Conclusão: segmentos reais do root locus estão eme em .
- Para
Passo 5
Comportamento dos ramos nos polos iniciais e mapeamento final (conectividade):
- Temos 3 polos iniciais:
e . Temos 2 zeros finitos: e . Logo, à medida que cresce: - Dois ramos devem terminar nos zeros finitos
e . - Um ramo deverá ir para o infinito (na direção da assíntota em
a partir de ).
- Dois ramos devem terminar nos zeros finitos
- Pelo segmento real
existir no locus, o polo em conecta-se diretamente com o zero em ao longo do eixo real (não há quebra nessa faixa, veremos que não há breakaway ali). Portanto o mapeamento parcial é - Os dois polos complexos conjugados em
originam os dois ramos restantes. Como já temos um polo (em ) que vai para , resta que as duas ramas dos polos complexos se conectem a e ao infinito (uma delas termina em , a outra vai para infinito). Isso é consistente com o fato de haver apenas uma assíntota (uma única direção para o infinito), e com a simetria conjugada do locus.
Passo 6
Pontos de breakaway/break-in (método): um ponto real de breakaway/break-in satisfaz
com
Derivando e igualando a zero (fazendo a álgebra) leva à equação real
- As raízes reais desta equação indicam candidatos a breakpoints; só aceitamos os que caem nos intervalos do eixo real que pertencem ao locus
ou . - Resolvendo numericamente essa equação encontramos uma raiz real relevante em
(pertencente a ). Outra raiz real aparece entre e (mas esse intervalo não pertence ao locus, então não gera breakaway físico para o locus real). Não há raízes dessa equação em , portanto não existe breakaway nesse segmento: o ramo do polo em vai monotonamente até . - Conclusão prática: há um ponto de encontro/partida na região real à esquerda de
cerca de (importante apenas para a forma do ramo que conecta o zero ao infinito). O segmento é um ramo simples do polo até o zero .
Passo 7
Ângulos de partida (departure) dos polos complexos (para entender a direção inicial dos ramos):
- Regra (compacta): ângulo de partida de um polo
é avaliado em . (Escolhemos o que dá o ângulo principal.) - Avaliando numericamente para
(e usando as posições dos outros polos e zeros), obtemos aproximadamente e para o conjugado o ângulo simétrico . Isto nos diz que os ramos dos polos complexos inicialmente saem inclinados para a esquerda e um pouco para baixo (para o conjugado, para cima) — ou seja: deslocam-se em direção ao semiplano esquerdo (eventualmente cruzando o eixo imaginário quando variar). - Esse cálculo confirma qualitativamente que os ramos dos polos
“viram” para a esquerda e podem atravessar o eixo imaginário.
Passo 8
Pontos de cruzamento com o eixo imaginário e análise de estabilidade com Routh (método robusto para encontrar o ganho onde ocorre mudança de estabilidade):
-
Polinômio característico fechado:
⇒ multiplicando por , Expandindo: -
Montamos a tabela de Routh para o polinômio cúbico
: linha
linha
linha
linha. -
Condições de estabilidade (todos os elementos da primeira coluna estritamente positivos):
-
(ok), -
, -
(já coberto por ), - o elemento da linha
deve ser positivo. Para o denominador , então exigimos o numerador positivo: Resolver a quadrática: as raízes são A raiz positiva é A desigualdade é satisfeita para (ou raiz negativa, que não nos interessa). Portanto, para estabilidade absoluta (todas as raízes em LHP) exigimos
-
-
Marginalidade: quando
a linha da tabela de Routh vira zero, indicando um par de raízes imaginárias (cruzamento do eixo ). A frequência de cruzamento obtém-se da equação auxiliar (linha ): . Substituindo obtemos Ou seja, o cruzamento ocorre empara .
Passo 9
Resumo do esboço e interpretação física (como desenhar o gráfico com as informações anteriores):
- Marque os polos:
(no origem), (RHP), e os zeros: , (LHP). - No eixo real, desenhe o locus em
conectando o polo ao zero . - Desenhe um ramo saindo do zero
estendendo-se pela região ; haverá um ponto de breakaway aproximadamente em para as curvas que se ligam à assíntota. - Os dois polos em
geram ramos simétricos que partem aproximadamente com ângulos a partir do eixo real e que se dirigem para a esquerda; ao aumentar eles deslocam-se para o LHP, cruzando o eixo imaginário em quando . Um desses ramos termina no zero ; o outro segue para o infinito, aproximando-se da assíntota com centro em e ângulo (direção para a esquerda). - Assim, desenhando o locus: ramo 1 (origem) vai left →
; ramo 2 (complexo superior) vai left/up → cruza o eixo imag. (para aumentando) e termina em ; ramo 3 (complexo inferior) é o conjugado e termina no infinito simetricamente, aproximando-se da assíntota.
Passo 10
Comentário final sobre estabilidade (resumo prático para prova e projeto):
- Para
o sistema em malha fechada é instável porque existem polos no semiplano direito (os polos complexos abertos estão inicialmente em RHP e só passam para LHP quando ultrapassa ). - Em
o sistema é marginalmente estável: há um par de polos em . - Para
o sistema em malha fechada é assintoticamente estável (todas as raízes em LHP).
Resposta
Polos abertos:
. Zeros abertos:
.
O lugar das raízes tem
ramos; há
assíntota com centro em
e ângulo
.
Segmentos do eixo real pertencentes ao locus:
e
. O ramo que liga
a
segue o eixo real em
; existe um ponto de breakaway relevante em
aproximadamente em
.
Os polos
têm ângulos de partida aproximadamente
. O locus cruza o eixo imaginário em
com
quando
Estabilidade:
- Para
o sistema em malha fechada é instável (há polos em RHP). - Para
o sistema é marginalmente estável (par de polos imaginários em ). - Para
o sistema em malha fechada é assintoticamente estável (todas as raízes em LHP).