Considere a seguinte função de transferência de malha aberta dada por G(s) H(s)=k \frac{(s+2)(s+4)}{s\left(s^{2}-4 s+13\right)}. Esboce o lugar geométrico das raízes da função de transferência em malha fechada indicando cada passo na sua construção. Comente as características de estabilidade.

Passo 1

O enunciado dá a função de malha aberta
G(s)H(s)=k\,\frac{(s+2)(s+4)}{s\left(s^{2}-4s+13\right)}
e pede: esboçar o lugar das raízes (root locus) em malha fechada indicando cada passo e comentar a estabilidade.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função em malha aberta depende do ganho real k (assumimos k\ge 0 por padrão de projeto).
  • O lugar das raízes é o conjunto das raízes do polinômio característico em função de k: 1+G(s)H(s)=0.
  • Precisamos identificar polos e zeros abertos, número de ramos, assíntotas, segmentos do eixo real que pertencem ao lugar, pontos de breakaway/break-in, ângulos de partida/chegada e pontos onde o locus cruza o eixo imaginário — tudo isso para discutir estabilidade.

Passo 2

Achar polos e zeros em malha aberta (passo fundamental antes de desenhar o lugar):
  • Zeros (numerador): resolver (s+2)(s+4)=0 dá zeros em s=-2 e s=-4. Logo os zeros finitos são \;s=-2,\;s=-4.
  • Polos (denominador): resolver s(s^2-4s+13)=0.
    • Um polo em s=0.
    • A equação quadrática s^2-4s+13=0 tem raízes s=\frac{4\pm\sqrt{16-52}}{2}=2\pm j3.Logo dois polos complexos conjugados em \;s=2\pm j3 (estes estão no semiplano direito, pois a parte real é +2).
      Resumo: polos em \;s=0,\;s=2\pm j3; zeros em \;s=-2,\;s=-4. Anote que há n=3 polos e m=2 zeros finitos.

Passo 3

Número de ramos e assíntotas:
  • O lugar das raízes tem n ramos, um por cada polo aberto, portanto 3 ramos. Cada ramo começa em um polo quando k=0.
  • Como m=2<n=3, há n-m=1 ramo que tende para o infinito (uma única assíntota).
  • Centro (centroid) das assíntotas: fórmula \sigma_a=\frac{\sum (\text{polos})-\sum(\text{zeros})}{n-m}.Soma dos polos: 0+(2+ j3)+(2-j3)=4. Soma dos zeros: (-2)+(-4)=-6. Então \sigma_a=\frac{4-(-6)}{1}=10.Ou seja, a assíntota está centrada em s=10 no eixo real.
  • Ângulos das assíntotas: (2q+1)\pi/(n-m) com q=0,\ldots,n-m-1. Aqui n-m=1, então o único ângulo é \theta=\pi\quad(\text{ou }180^\circ),isto é, a assíntota aponta para a esquerda ao longo do eixo real a partir do ponto s=10.

Passo 4

Segmentos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes (regra: um ponto real pertence se o número de polos e zeros reais à direita for ímpar):
  • Posicionamento dos pontos reais (em ordem crescente): -\infty,\; -4\;(\text{zero}),\; -2\;(\text{zero}),\; 0\;(\text{polo}),\; +\infty.
  • Testando intervalos:
    • Para s\in(-\infty,-4): à direita temos -4,-2,0 (3 pontos) → ímpar → pertence ao locus.
    • Para s\in(-4,-2): à direita temos -2,0 (2 pontos) → par → não pertence.
    • Para s\in(-2,0): à direita temos 0 (1 ponto) → ímpar → pertence.
    • Para s\in(0,\infty): à direita não há polos/zeros reais → 0 (par) → não pertence.
      Conclusão: segmentos reais do root locus estão em (-\infty,-4) e em (-2,0).

Passo 5

Comportamento dos ramos nos polos iniciais e mapeamento final (conectividade):
  • Temos 3 polos iniciais: s=0 e s=2\pm j3. Temos 2 zeros finitos: -2 e -4. Logo, à medida que k cresce:
    • Dois ramos devem terminar nos zeros finitos -2 e -4.
    • Um ramo deverá ir para o infinito (na direção da assíntota em \theta=\pi a partir de \sigma_a=10).
  • Pelo segmento real (-2,0) existir no locus, o polo em s=0 conecta-se diretamente com o zero em s=-2 ao longo do eixo real (não há quebra nessa faixa, veremos que não há breakaway ali). Portanto o mapeamento parcial é \text{polo }0 \longrightarrow \text{zero }-2.
  • Os dois polos complexos conjugados em 2\pm j3 originam os dois ramos restantes. Como já temos um polo (em 0) que vai para -2, resta que as duas ramas dos polos complexos se conectem a -4 e ao infinito (uma delas termina em -4, a outra vai para infinito). Isso é consistente com o fato de haver apenas uma assíntota (uma única direção para o infinito), e com a simetria conjugada do locus.

Passo 6

Pontos de breakaway/break-in (método): um ponto real de breakaway/break-in satisfaz d k/d s=0 com
k(s)=-\frac{1}{L(s)}=-\frac{s(s^2-4s+13)}{(s+2)(s+4)}.
Derivando e igualando a zero (fazendo a álgebra) leva à equação real
s^{4}+12 s^{3}-13 s^{2}-64 s+104=0.
  • As raízes reais desta equação indicam candidatos a breakpoints; só aceitamos os que caem nos intervalos do eixo real que pertencem ao locus (-\infty,-4) ou (-2,0).
  • Resolvendo numericamente essa equação encontramos uma raiz real relevante em \;s\approx -12,58 (pertencente a (-\infty,-4)). Outra raiz real aparece entre -3 e -2 (mas esse intervalo não pertence ao locus, então não gera breakaway físico para o locus real). Não há raízes dessa equação em (-2,0), portanto não existe breakaway nesse segmento: o ramo do polo em 0 vai monotonamente até -2.
  • Conclusão prática: há um ponto de encontro/partida na região real à esquerda de -4 cerca de \;s\approx -12,6 (importante apenas para a forma do ramo que conecta o zero -4 ao infinito). O segmento (-2,0) é um ramo simples do polo 0 até o zero -2.

Passo 7

Ângulos de partida (departure) dos polos complexos (para entender a direção inicial dos ramos):
  • Regra (compacta): ângulo de partida de um polo p_i é \theta_{d}=(2q+1)\pi +\sum_{\text{outros polos}} \angle(p_i-\text{polo}) - \sum_{\text{zeros}} \angle(p_i-\text{zero}),avaliado em s=p_i. (Escolhemos o q que dá o ângulo principal.)
  • Avaliando numericamente para p=2+3j (e usando as posições dos outros polos e zeros), obtemos aproximadamente \theta_d \approx -97,13^\circ\quad\text{(medido a partir do eixo positivo real)},e para o conjugado 2-3j o ângulo simétrico +97,13^\circ. Isto nos diz que os ramos dos polos complexos inicialmente saem inclinados para a esquerda e um pouco para baixo (para o conjugado, para cima) — ou seja: deslocam-se em direção ao semiplano esquerdo (eventualmente cruzando o eixo imaginário quando k variar).
  • Esse cálculo confirma qualitativamente que os ramos dos polos 2\pm j3 “viram” para a esquerda e podem atravessar o eixo imaginário.

Passo 8

Pontos de cruzamento com o eixo imaginário e análise de estabilidade com Routh (método robusto para encontrar o ganho onde ocorre mudança de estabilidade):
  • Polinômio característico fechado: 1+G(s)H(s)=0 ⇒ multiplicando por s(s^2-4s+13),
    s(s^2-4s+13)+k(s+2)(s+4)=0.
    Expandindo:
    P(s)=s^3+(k-4)s^2+(13+6k)s+8k.
  • Montamos a tabela de Routh para o polinômio cúbico s^3 + (k-4)s^2 + (13+6k)s + 8k:
    linha s^3: \;1\quad (13+6k)
    linha s^2: \;k-4\quad 8k
    linha s^1: \displaystyle \frac{(k-4)(13+6k)-8k}{\,k-4\,}=\frac{6k^{2}-19k-52}{k-4}
    linha s^0: \;8k.
  • Condições de estabilidade (todos os elementos da primeira coluna estritamente positivos):
    1. 1>0 (ok),
    2. k-4>0\Rightarrow k>4,
    3. 8k>0\Rightarrow k>0 (já coberto por k>4),
    4. o elemento da linha s^1 deve ser positivo. Para k>4 o denominador k-4>0, então exigimos o numerador positivo: 6k^{2}-19k-52>0.Resolver a quadrática: as raízes são k=\frac{19\pm\sqrt{19^{2}+4\cdot 6\cdot 52}}{12}=\frac{19\pm\sqrt{1609}}{12}.A raiz positiva é k_c=\frac{19+\sqrt{1609}}{12}\approx 4{,}92584.A desigualdade 6k^{2}-19k-52>0 é satisfeita para k>k_c (ou k< raiz negativa, que não nos interessa). Portanto, para estabilidade absoluta (todas as raízes em LHP) exigimos k>k_c\approx 4{,}92584.
  • Marginalidade: quando k=k_c a linha s^1 da tabela de Routh vira zero, indicando um par de raízes imaginárias (cruzamento do eixo j\omega). A frequência de cruzamento obtém-se da equação auxiliar (linha s^2): (k-4)s^2+8k=0. Substituindo k=k_c obtemos
    s=\pm j\omega,\qquad \omega=\sqrt{\frac{8k_c}{k_c-4}}\approx 6{,}525.
    Ou seja, o cruzamento ocorre em s\approx \pm j6{,}525 para k=k_c.

Passo 9

Resumo do esboço e interpretação física (como desenhar o gráfico com as informações anteriores):
  • Marque os polos: 0 (no origem), 2\pm j3 (RHP), e os zeros: -2, -4 (LHP).
  • No eixo real, desenhe o locus em (-2,0) conectando o polo 0 ao zero -2.
  • Desenhe um ramo saindo do zero -4 estendendo-se pela região (-\infty,-4); haverá um ponto de breakaway aproximadamente em s\approx -12{,}6 para as curvas que se ligam à assíntota.
  • Os dois polos em 2\pm j3 geram ramos simétricos que partem aproximadamente com ângulos \pm 97{,}13^\circ a partir do eixo real e que se dirigem para a esquerda; ao aumentar k eles deslocam-se para o LHP, cruzando o eixo imaginário em s=\pm j6{,}525 quando k=k_c\approx 4{,}92584. Um desses ramos termina no zero -4; o outro segue para o infinito, aproximando-se da assíntota com centro em s=10 e ângulo \pi (direção para a esquerda).
  • Assim, desenhando o locus: ramo 1 (origem) vai left → -2; ramo 2 (complexo superior) vai left/up → cruza o eixo imag. (para k aumentando) e termina em -4; ramo 3 (complexo inferior) é o conjugado e termina no infinito simetricamente, aproximando-se da assíntota.

Passo 10

Comentário final sobre estabilidade (resumo prático para prova e projeto):
  • Para 0\le k<k_c o sistema em malha fechada é instável porque existem polos no semiplano direito (os polos complexos abertos estão inicialmente em RHP e só passam para LHP quando k ultrapassa k_c).
  • Em k=k_c=\dfrac{19+\sqrt{1609}}{12}\approx 4{,}92584 o sistema é marginalmente estável: há um par de polos em s=\pm j6{,}525.
  • Para k>k_c o sistema em malha fechada é assintoticamente estável (todas as raízes em LHP).

Resposta

Polos abertos: s=0,\;s=2\pm j3. Zeros abertos: s=-2,\;s=-4.
O lugar das raízes tem 3 ramos; há n-m=1 assíntota com centro em \sigma_a=10 e ângulo \theta=\pi.
Segmentos do eixo real pertencentes ao locus: s\in(-\infty,-4) e s\in(-2,0). O ramo que liga 0 a -2 segue o eixo real em (-2,0); existe um ponto de breakaway relevante em (-\,\infty,-4) aproximadamente em s\approx -12{,}6.
Os polos 2\pm j3 têm ângulos de partida aproximadamente \pm 97{,}13^\circ. O locus cruza o eixo imaginário em s=\pm j\omega com \omega\approx 6{,}525 quando
k=k_c=\frac{19+\sqrt{1609}}{12}\approx 4{,}92584.
Estabilidade:
  • Para 0\le k<k_c o sistema em malha fechada é instável (há polos em RHP).
  • Para k=k_c o sistema é marginalmente estável (par de polos imaginários em \pm j6{,}525).
  • Para k>k_c o sistema em malha fechada é assintoticamente estável (todas as raízes em LHP).