Considere o seguinte modelo de Margules para a energia de Gibbs molar em excesso
de uma mistura binária com composição
:\n
\nonde o parâmetro
depende da temperatura
da seguinte maneira
com
e
valendo, respectivamente,
e
. Determine:
expressões para a entalpia molar de excesso e entropia molar de excesso em função de
e
;
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede claramente as grandezas abaixo:
- Informação 1: a energia de Gibbs molar em excesso satisfaz
onde
é a composição da mistura (frações molares).
- Informação 2: o parâmetro
depende da temperatura por
com os valores numéricos
e
(esses valores foram dados no enunciado).
- Pedido: determinar expressões para a entalpia molar de excesso
(ou ) e para a entropia molar de excesso (ou ), em função de e de .
Nenhuma outra informação é necessária; a resolução começa a partir dessas expressões.
Passo 2
Recordando identidades termodinâmicas úteis (aqui eu explico por que vamos usá‑las):
- Relação fundamental entre energia de Gibbs, entalpia e entropia por mol:
Dessa igualdade, mantendo pressão e composição constantes, obtemos a fórmula para a entropia como derivada de
:
Aplicando isso às quantidades em excesso, obtemos
- A entalpia em excesso segue de
, logo
Uma forma alternativa (útil em muitos modelos) é
que é equivalente às fórmulas anteriores. Vou usar a forma com derivada direta de
e mostrar a equivalência.
Passo 3
Escrevemos explicitamente
usando a expressão dada:
Aqui
é a constante dos gases e
é a função de
que o enunciado deu. Estou escrevendo
isolado para poder derivar em relação a
.
Passo 4
Calcular a derivada
. Como
e
são constantes na derivação, usamos a regra do produto:
onde
. Agora calculemos
a partir da expressão dada:
pois
e
.
Passo 5
Usando a fórmula da entropia em excesso,
substituímos o resultado do passo anterior:
Agora substituímos
e
:
Portanto a expressão final para a entropia molar de excesso é
Se quisermos já substituir os valores numéricos de
e
dados:
Passo 6
Agora calculemos a entalpia molar de excesso. Usando a relação
substituímos
e
:
Fazendo as contas dentro dos colchetes:
Isto confirma a forma alternativa mencionada no passo 2. Substituímos
para obter:
Substituindo os valores numéricos de
:
Passo 7
Resumo da interpretação prática (rápido incentivo): as expressões acima dizem que, neste modelo de Margules com
dependente linearmente de
, a entalpia de excesso é proporcional a
(e à composição
), enquanto a entropia de excesso é linear em
(também proporcional a
). Se você precisar calcular valores numéricos, basta substituir
(constante dos gases),
em K e as frações molares
.