Sabendo-se que dois componentes, A e B, se comportam como mistura ideal em fase líquida, calcule, na temperatura de 300 K e na pressão de 1 atm:
a) as propriedades molares de excesso H^{I}, V^{I}, S^{I} e G^{E} para uma mistura de A e B com composição equimolar;
b) as propriedades molares de mistura \Delta \mathrm{H}_{\text {mix }}, \Delta \mathrm{V}_{\text {mix }}, \Delta \mathrm{S}_{\text {mix }} e \Delta \mathrm{G}_{\text {mix }} para uma mistura de A e B com composição equimolar.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Informação: os componentes A e B formam uma mistura ideal na fase líquida.
  • Informação: temperatura T=300\\ \mathrm{K} e pressão P=1\\ \mathrm{atm}.
  • Informação: composição da mistura é equimolar, ou seja, x_A=x_B=0{,}5.
Perguntas:
a) Calcular as propriedades molares de excesso \;H^{I},\;V^{I},\;S^{I}\; e \;G^{E}\; para a mistura equimolar.
b) Calcular as propriedades molares de mistura \;\Delta H_{\text{mix}},\;\Delta V_{\text{mix}},\;\Delta S_{\text{mix}}\; e \;\Delta G_{\text{mix}}\; para a mistura equimolar.

Passo 2

O que significa “mistura ideal” e o que é uma propriedade molar de excesso.
  • Mistura ideal (ideais líquidos): as interações entre moléculas diferentes são iguais às interações entre moléculas iguais. Consequência prática importante: as atividades relativas satisfazem \;a_i=x_i\; (isto é, os coeficientes de atividade \gamma_i=1).
  • Propriedade molar de excesso M^{E} de uma propriedade M é definida como a diferença entre a propriedade real da mistura e a propriedade da mistura idealizada (ou referencial ideal) com mesma T,P,x_i. Em termos simples:
M^{E}=M^{\text{real}}-M^{\text{ideal}}.
Para uma mistura que se comporta idealmente, a parte “real” coincide com a ideal, portanto as propriedades de excesso são nulas. Vou mostrar isso com fórmulas específicas quando for útil.

Passo 3

Propriedades de excesso pedidas em (a): razão física e fórmulas rápidas.
  • Excesso de energia livre de Gibbs: existe a expressão geral
G^{E}=RT\sum_{i} x_i \ln \gamma_i,
onde \gamma_i é o coeficiente de atividade do componente i. Para mistura ideal, \gamma_i=1\Rightarrow \ln\gamma_i=0. Logo
G^{E}=0.
  • Para entalpia e volume de excesso: a definição física é que, em mistura ideal, não há troca extra de energia devido à mistura (as interações não mudam), então a entalpia de mistura é zero. Portanto a entalpia molar de excesso é
H^{I}=0
(equivalente a H^{E}=0 dependendo da notação). Analogamente, o volume molar de excesso é
V^{I}=0.
  • Excesso de entropia: como G^{E}=H^{E}-T S^{E} e G^{E}=0 e H^{E}=0 para mistura ideal, segue que
S^{I}=0.
Resumo didático curto: para mistura ideal todos os M^{E} (excesso) são zero porque a “parte extra” causada por não-idealidade não existe ( \gamma_i=1).

Passo 4

Diferença entre propriedade de excesso e propriedade de mistura; fórmulas para as propriedades de mistura pedidas em (b).
  • Propriedade de mistura molar \Delta M_{\text{mix}} é a diferença entre a propriedade molar do sistema misturado e a média das propriedades molares dos componentes puros antes de misturar (à mesma T,P). Para entalpia e volume, para solução ideal vale:
\Delta H_{\text{mix}}=0,\qquad \Delta V_{\text{mix}}=0,
pela razão física já explicada (nenhuma energia/volume associado à mudança de interação).
  • Entropia de mistura: para solução ideal a entropia de mistura tem a expressão clássica (mistura ideal é uma mistura estatística de espécies indistinguíveis por energia):
\Delta S_{\text{mix}}=-R\sum_{i} x_i \ln x_i.
Aqui R é a constante dos gases ideais ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}), x_i são as frações molares. Essa fórmula pode ser obtida a partir da expressão das energias livres/químicas para solução ideal: como \mu_i=\mu_i^*+RT\ln x_i, então a energia livre de mistura é
\Delta G_{\text{mix}}=RT\sum_{i} x_i \ln x_i,
e usando a relação termodinâmica \Delta G_{\text{mix}}=\Delta H_{\text{mix}}-T\Delta S_{\text{mix}} e \Delta H_{\text{mix}}=0 obtemos
\Delta S_{\text{mix}}=-\frac{\Delta G_{\text{mix}}}{T}=-R\sum_{i} x_i \ln x_i.
  • Energia livre de mistura: da expressão acima,
\Delta G_{\text{mix}}=RT\sum_{i} x_i \ln x_i.
Note que \ln x_i\le 0, então \Delta G_{\text{mix}}\le 0 (mistura espontânea por entropia).

Passo 5

Aplicando as fórmulas ao caso equimolar binário x_A=x_B=0{,}5 e T=300\\ \mathrm{K}.
  • Entalpia e volume de mistura:
\Delta H_{\text{mix}}=0,\qquad \Delta V_{\text{mix}}=0.
  • Entropia de mistura:
\Delta S_{\text{mix}}=-R\bigl(x_A\ln x_A + x_B\ln x_B\bigr).
Para x_A=x_B=0{,}5 isso vira
\Delta S_{\text{mix}}=-R\bigl(0{,}5\ln 0{,}5 + 0{,}5\ln 0{,}5\bigr)=-R\ln 0{,}5=R\ln 2.
Numericamente,
\Delta S_{\text{mix}}=R\ln 2=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}\times 0{,}693147\approx 5{,}76\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Energia livre de mistura:
\Delta G_{\text{mix}}=RT\sum_i x_i\ln x_i = RT\ln 0{,}5 = -RT\ln 2.
Numericamente,
\Delta G_{\text{mix}}=-RT\ln 2 = -300\\ \mathrm{K}\times 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}\times 0{,}693147\approx -1{,}728\times 10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Em unidades mais usuais,
\Delta G_{\text{mix}}\approx -1{,}73\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 6

Recapitulação curta e interpretação física (para você levar pra prova):
  • Excesso zero significa: a mistura não apresenta desvios de idealidade; não existe entalpia ou volume “extra” por misturar, e nem entropia de excesso.
  • Mistura equimolar: entropia de mistura é máxima para duas espécies com frações iguais e é \;R\ln 2\;. A energia livre de mistura é negativa porque a contribuição entálpica é nula e a entropia aumenta; assim a mistura é espontânea (termicamente favorecida) por ganho entrópico.

Resposta

a) H^{I}=0
a) V^{I}=0
a) S^{I}=0
a) G^{E}=0
b) \Delta H_{\text{mix}}=0
b) \Delta V_{\text{mix}}=0
b) \Delta S_{\text{mix}}=R\ln 2\approx 5{,}76\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}
b) \Delta G_{\text{mix}}=-RT\ln 2\approx -1{,}73\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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